近似と有限性

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近似と有限性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/22 07:55 UTC 版)

「領域理論」の記事における「近似と有限性」の解説

領域理論は、情報の状態の構造をモデル化する純粋に定性的なアプローチである。 より多くの情報を含むものについて語ることはできても、付け加えられた情報の量は示されない。 しかし、与えられた情報の状態よりも、ある意味ではるかに単純な（はるかに不完全な）要素について語りたい場合もある。 例えば、ある冪集合上に部分集合の包含の自然な順序を与えたとき、無限集合であるような任意のベキ集合の要素は、その任意の有限の部分集合よりも「有用」である。 こうした関係をモデル化しようとするなら、まず領域の順序 ≤ から導かれる狭義の順序 < （厳密に小さい）について考えるかもしれない。 しかし、これは全順序の場合には有用な記号であっても、半順序集合の場合には多くのことを教えてはくれない。 いま一度、集合の包含順序を考えると、ある（無限集合かもしれない）集合は、それに 1 要素のみを加えただけの別の集合よりもそれだけで厳密に小さくなる。 これが「はるかに単純な」ものであるという概念を捉えているとは同意しにくいだろう。 より手の込んだアプローチは、いわゆる近似の順序、あるいはより示唆的に way-below relation と呼ばれるものを定めることである（way below は「ずっと下の」の意）。 要素 x が要素 y よりも way below であるとは、上限 sup D をもつ有向集合 D 各々に対して、y ≤ sup D ならば、各 D 中に要素 d が存在し、x ≤ d となることである。 このとき、x は y を近似するとも言い、x ≪ y と書く。 一点集合 {y} も有向であることから、これは x ≤ y であることも導く。 例えば、集合の包含の順序においては、無限集合はその任意の有限部分集合よりも way above であることがわかる。 一方、有限集合 {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ... からなる有向集合（実際には鎖）を考えれば、この鎖の上限は、すべての自然数の集合 N なので、これは、N より way below であるような無限集合がないことを示している。 しかし、ある要素よりも way below であるということは相対的な概念であり、要素のみについて大したことを明らかにはしない。 例えば、有限集合というものを順序理論的方法で特徴づけたいとしても、ある集合より way below であるような無限集合もある。 この意味で有限の要素 x がもつ特殊な特性は、それらがそれ自体よりも way below、すなわち x ≪ x であることである。 この特性をもつ要素はコンパクトであるとも言われる。 このような要素が、他の数学における意味で「有限」でも「コンパクト」でもある必要はないが、これは、集合論と位相における対応する概念にある程度沿って名付けられたものである。 領域のコンパクトな要素は、それが含まれていないような有向集合の極限として得られないという重要で特殊な特性をもっている。 Way-below relation についてのその他の重要な帰結は、この定義が領域の多くの重要な側面を捉えるのに非常に適したものだという主張を裏付けている。 詳細は way-below relation についての文献を参照。