狭義の順序

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狭義の順序

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 02:16 UTC 版)

「順序集合」の記事における「狭義の順序」の解説

一方、等しいことを許容しない順序は狭義の（半）順序と呼ばれ、以下のように定義される： a < b ⟺ ( a ≤ b ∧ a ≠ b ) {\displaystyle a」も同様に定義される。 狭義の順序「<」の対義語として、等しいことも許容する順序「≤」のことを広義の（半）順序（もしくは弱い意味 (weak) の（半）順序、反射的 (reflexive) な(半)順序）という。 (1) 式で定義された「<」を「≤」の反射的簡約 (reflexive reduction) という。 「≤」が半順序であるとき、その反射的簡約「<」は任意の a, b, c ∈ P に対して以下を満たす： 非反射性：¬(a < a); 非対称性：a < b ならば ¬(b < a); （非反射性と推移性から従う） 推移性：a < b かつ b < c ならば a < c 以上では広義の順序を定義してから狭義の順序を定義したが、逆に上の三性質（非対称性は非反射性と推移性より得られるので条件としては不要）を満たすものを狭義の順序として定義し、広義の順序を a ≤ b ⟺ a < b ∨ a = b {\displaystyle a\leq b\iff a