粗視化とエントロピー増加則とは? わかりやすく解説

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粗視化とエントロピー増加則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/08/12 06:17 UTC 版)

粗視化」の記事における「粗視化とエントロピー増加則」の解説

厳密な分布関数 f {\displaystyle \left.f\right.} に対して同様なエントロピー」を定義する。 S [ f ] = − k Bf ln ⁡ f   d p d x {\displaystyle S[f]=-k_{B}\int f\ln f\ dpdx} ここで k B {\displaystyle \left.k_{B}\right.} はボルツマン定数ln {\displaystyle \left.\ln \right.} は自然対数。この時間変化次の様になるd S [ f ] d t = − k B ∫ ( 1 + ln ⁡ f ) d f d t   d p d x {\displaystyle {\frac {dS[f]}{dt}}=-k_{B}\int \left(1+\ln f\right){\frac {df}{dt}}\ dpdx} ところが、リウヴィル方程式より、 d f d t = ∂ f ∂ t + ∂ f ∂ p p ˙ + ∂ f ∂ x x ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\dot {p}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\dot {x}}=0} であるからd S [ f ] d t = 0 {\displaystyle {\frac {dS[f]}{dt}}=0} つまり、厳密な分布関数対すエントロピー時間依存性持たない事がわかる。一般的によく言われるエントロピー増加法則」は、何らかの情報に対して粗視化された分布関数に対して初め成り立つ。 簡単な例で考えてみよう。 イロハニ「配置数」w配置数W1● ● 2 1 2● ● 2 2 3● ● 2 2 4 ● ● 2 2 5 ● ● 2 2 6 ● ● 2 1 4つの箱イロハニと2つボール●がある。2つボール区別可能であり、1つの箱にボール一つずつしか入れられない。そしてボール4つの箱のいずれかに確率入っているとする(そのメカニズム問わない)。2つボール違いには興味が無いので、その配置パターン全部で6種類考えられる上図)。 それぞれのパターン対し、「配置数」wを計算するw = N ! ∏ i n i ! {\displaystyle w={\frac {N!}{\prod _{i}n_{i}!}}} ここでNはボール総数2であり、 n i {\displaystyle n_{i}} (i=イロハニ)はそれぞれの箱に入っているボールの数である。ところがこの場合配置数」wは全て2となることがわかる。例えばこの系の初期状態パターン1であったとした場合、それから時間発展して他のパターンへと移り変わったとしても「配置数」wは変化せず、それに対応したエントロピー」sも初期状態から変化しない事がわかる。 s = k B ln ⁡ w {\displaystyle \left.s=k_{B}\ln w\right.} k B {\displaystyle \left.k_{B}\right.} はボルツマン定数ln {\displaystyle \left.\ln \right.} は自然対数。 ここで箱を2種類分ける。イロ白グループハニグループとする。そして箱単位ではなくこれらのグループ単位配置数を考え、それをWとする。 W = N ! ∏ c g n c g ! {\displaystyle W={\frac {N!}{\prod _{cg}n_{cg}!}}} ここでNはボール総数2であり、 n c g {\displaystyle n_{cg}} (cg=白or)はそれぞれのグループ入っているボールの数である。この箱のグループ分け操作は、箱の違いに関する詳細な情報破棄するという粗視化操作相当する。するとこの場合パターンごとに配置数Wに変化現れる事がわかる(上図)。例えばこの系の初期状態パターン1であったとした場合、それから時間発展して他のパターンへと移り変わったとすると、多く場合パターン6以外)において配置数Wは増加する(1→2)。それに対応したエントロピーSも初期状態から増加するS = k B ln ⁡ W {\displaystyle \left.S=k_{B}\ln W\right.} k B {\displaystyle \left.k_{B}\right.} はボルツマン定数ln {\displaystyle \left.\ln \right.} は自然対数。 このモデルでの「1つの箱にボール一つずつしか入れられない。」という仮定は、例え多粒子系考えた時、複数粒子座標厳密に重なり合う確率はほとんど無い、という事表している。

※この「粗視化とエントロピー増加則」の解説は、「粗視化」の解説の一部です。
「粗視化とエントロピー増加則」を含む「粗視化」の記事については、「粗視化」の概要を参照ください。

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