積分方程式とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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積分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/16 23:01 UTC 版)

「乱流モデル」の記事における「積分方程式」の解説

運動方程式をある方向に積分し、残された方向への常微分方程式に変換する方法。

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積分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/15 14:26 UTC 版)

「時間尺度微分積分学」の記事における「積分方程式」の解説

積分方程式と和分方程式（英語版）は、時間尺度上の積分方程式に統合される。

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積分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/31 20:00 UTC 版)

「Maple」の記事における「積分方程式」の解説

積分方程式を満たす関数 f {\displaystyle f} を求める。 f ( x ) − 3 ∫ − 1 1 ( x y + x 2 y 2 ) f ( y ) d y = h ( x ) {\displaystyle f(x)-3\int _{-1}^{1}(xy+x^{2}y^{2})f(y)dy=h(x)} . eqn:= f(x)-3*Int((x*y+x^2*y^2)*f(y), y=-1..1) = h(x):intsolve(eqn,f(x)); f ( x ) = ∫ − 1 1 ( − 15 x 2 y 2 − 3 x y ) h ( y ) d y + h ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)=\int _{-1}^{1}\!\left(-15\,{x}^{2}{y}^{2}-3\,xy\right)h\left(y\right){dy}+h\left(x\right)}

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積分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/04 07:24 UTC 版)

「フレドホルムの交代定理」の記事における「積分方程式」の解説

積分核 K(x,y) に対し斉次および非斉次フレドホルム積分方程式 λ φ ( x ) − ∫ a b K ( x , y ) φ ( y ) d y = 0 {\displaystyle \lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=0} および λ φ ( x ) − ∫ a b K ( x , y ) φ ( y ) d y = f ( x ) {\displaystyle \lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=f(x)} を考える。このときのフレドホルムの択一定理の主張は定理 (Fredholm alternative) 「任意のゼロで無い固定された複素数 λ ∈ C に対して、初めの方程式が非自明な解を持つか、第二の方程式がすべての f に対して解を持つかのいずれか一方のみが成り立つ。」というものである。この主張が真となるためのひとつの十分条件は、K(x,y) が矩形領域 [a, b] × [a, b] 上で自乗可積分（ここで a および b は正あるいは負の無限大であってもよい）であることである。そのような K によって定義される積分作用素はヒルベルト＝シュミット積分作用素と呼ばれる。

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積分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/05 20:33 UTC 版)

「フレドホルムの定理」の記事における「積分方程式」の解説

積分方程式のフレドホルムの定理は次のように表される。 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} を積分核 (kernel) とし、斉次方程式、 ∫ a b K ( x , y ) ϕ ( y ) d y = λ ϕ ( x ) {\displaystyle \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)} とその複素共役、 ∫ a b ψ ( x ) K ( x , y ) ¯ d x = λ ¯ ψ ( y ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y).} を考える。ここで、 λ ¯ {\displaystyle {\overline {\lambda }}} は複素数 λ {\displaystyle \lambda } の複素共役を表し、 K ( x , y ) ¯ {\displaystyle {\overline {K(x,y)}}} は同様に積分核の複素共役を表す。このとき、フレドホルムの定理は、いかなる λ {\displaystyle \lambda } についても、これらの方程式は自明な解 ψ ( x ) = ϕ ( x ) = 0 {\displaystyle \psi (x)=\phi (x)=0} を持つか、同数の線形独立な解 ϕ 1 ( x ) , ⋯ , ϕ n ( x ) , ψ 1 ( y ) , ⋯ , ψ n ( y ) {\displaystyle \phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x),\psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)} を持つことをいう。積分方程式におけるフレドホルムの定理が成り立つための充分条件は、積分核 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} が矩形 [ a , b ] × [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\times [a,b]} の上で自乗可積分なことである。ここでは、積分を実数軸上の一次元の積分として表しているが、フレドホルム理論の中では、リーマン多様体などを含む多次元空間上の積分作用素へと一般化される。

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積分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/09 02:15 UTC 版)

「ヴァイエルシュトラスの楕円函数」の記事における「積分方程式」の解説

ヴァイエルシュトラス・ペー函数は楕円積分の逆函数として与えることができる。ここでは g2 および g3 は定数であるものとして、 u = ∫ y ∞ d s 4 s 3 − g 2 s − g 3 {\displaystyle u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}} とおくと、 y = ℘ ( u ) {\displaystyle y=\wp (u)} となるのである。このことは、上記の微分方程式を積分して直截に示すことができる。