独立増分過程とは？わかりやすく解説

加法過程（かほうかてい、英: additive process）または独立増分過程（どくりつぞうぶんかてい、英: independent increments process）とは、確率過程の一種であり、独立増分性によって特徴付けられる。ポール・ピエール・レヴィ(Paul Pierre Lévy)、アレクサンドル・ヒンチンなどによって詳しく調べられた。代表的かつ典型的な加法過程の例として、ウィーナー過程(ブラウン運動)がある。

定義

加法過程

確率空間 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ で定義された $\mathbb {R} ^{d}$ -値確率過程 $X=\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ が加法過程であるとは次の条件をみたすときをいう:

$X_{0}=0$ 　a.s.
任意の $t\geq 0,\varepsilon >0$ に対して、 $\lim _{h\to 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0$ .
$P(\Omega _{0})=1$ を満たす $\Omega _{0}\in {\mathcal {F}}$ が存在して、任意の $\omega \in \Omega _{0}$ に対して $X_{t}(\omega ):t\mapsto X_{t}(\omega )$ は右連続かつ左極限をもつ。
任意の $n=1,2,\ldots$ と $0\leq t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}<\infty$ に対して、 $X_{t_{0}},X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ は独立。

2. を確率連続性、3. をcàdlàg性、4. を独立増分性という。

レヴィ過程

確率過程 $X=\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ がレヴィ過程であるとは、加法過程であって次の条件をみたすときをいう:

任意の $s\geq 0$ に対して、 $X_{t+s}-X_{t}$ の分布は $t$ には依存しない。

この条件を時間的一様性(time homogeneity)、または定常増分性という。

参考文献

A.Khintchine, A new derivation of a formula by. P. Lévy, Bull. Moscow Gov. Univ. 1, No. 1, 1-5.
P.Lévy. Sur les intégrales dont les éléments sont des variables aléatoires indépendentes, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (2) 3, 337-366.(PDF-files)

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