幾何化の重要性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/11 04:12 UTC 版)
3次元多様体は、8つの幾何学モデルのうちのひとつへ帰着できることは、3次元多様体のトポロジーへ重要な結論をもたらす。モデルは双曲的(hyperboloc)や球面的(spherical)なファイバー構造だけはなく、多様体はザイフェルトファイバー（英語版）の構造を持つことがある。ザイフェルト多様体のトポロジーは、よくわかっている。これらの基本群は、例えば、いつも 2-トーラスの基本群 Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } の部分群に同型であり、次のように幾何化を定式化できる。 全ての既約な閉 3-次元多様体は次の 3つの条件のうちのいづれかの一つに一致する。球面の計量を持ったもの 双曲な計量を持ったもの 基本群が、 Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } の部分群となっているもの いまのところ、球面的な多様体と双曲的な多様体に対し、多くの可能性があり、これらを完全には分類しきれてはいない。しかしながら、性質の多くが理解され、分類は純粋に群論的な問題となっている（すなわち、 S 3 {\displaystyle S^{3}} や H 3 {\displaystyle \mathbb {H} ^{3}} 、従って S O ( 3 , R ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3,\mathbb {R} )} や P S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )} の等長群の全ての自由な離散部分群(discrete subgroups)を決定する問題となっている）。 幾何化の定式化からは、楕円化予想（英語版）(Elliptization conjecture)、または、球面化予想(Sphericalization conjecture)が予想としてある。 有限群を（自己同型群として）持つ全ての閉 3-次元多様体は球面計量を持ち、従って 3-球面 S 3 / Γ {\displaystyle S^{3}/\Gamma } の商空間である。 さらに双曲化予想(hyperbolization conjecture)が、予想となる。（双曲化定理（英語版）(Hyperbolization theorem)を参照。） 無限群を（自己同型群として）持つ全ての閉 3-次元多様体は、双曲型か、もしくは基本群が Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } に同型な部分群を持つ。 一方、幾何化予想の特別な場合として、良く知られているポアンカレ予想がある。 自明な基本群を持つ全ての閉 3-次元多様体は、3-球面 S 3 {\displaystyle S^{3}} に同相である。
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