等質空間
(剰余類空間 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/04 18:48 UTC 版)
数学、とくにリー群、代数群、位相群の理論において、群 G の等質空間（とうしつくうかん、英: homogeneous space）は、G が推移的に作用するような空でない多様体あるいは位相空間 X である。G の元は X の対称変換 (symmetry) と呼ばれる。特別な場合は、問題の G が空間 X の自己同型群であるときである――ここで「自己同型群」は等長変換群、微分同相群、あるいは同相群の意味である。この場合 X が等質空間であるとは、直感的には X が、等長写像（リジッド幾何学）、微分同相写像（微分幾何学）、あるいは同相写像（位相幾何学）の意味において、各点で局所的に同じに見えるということである。著者によっては G の作用が忠実である（非単位元は非自明に作用する）ことを要求するが、本記事ではそうしない。したがって、X 上のある「幾何学的構造」を保ち X を単一の G-軌道にすると考えられるような G の X への群作用が存在する。
定義
X を空でない集合とし G を群とする。X が G-空間であるとは、G が X に作用していることをいう[1]。自動的に G は集合に自己同型（全単射）によって作用することに注意する。X がさらにある圏に属しているならば、G の元はその圏における同型射として作用すると仮定される。したがって G によってもたらされる X 上の写像は構造を保つ。等質空間は G が推移的に作用するような G-空間である。
簡潔には、X が圏 C の対象であれば、G-空間の構造は圏 C の対象 X の自己同型射の群の中への準同型写像
- ρ: G → AutC(X)
である。対 (X, ρ) は ρ(G) が X の台集合の対称変換の推移的な群であるならば等質空間を定義する。
例
例えば、X が位相空間であれば、群の元は X 上の同相写像として作用すると仮定される。G-空間の構造は X の同相写像群の中への群準同型写像 ρ: G → Homeo(X) である。
同様に、X が可微分多様体であれば、群の元は微分同相写像である。G-空間の構造は X の微分同相群の中への群準同型写像 ρ: G → Diffeo(X) である。
リーマンの対称空間は等質空間の重要なクラスであり、以下に挙げる例の多くを含む。
具体例：
- 等長変換群
- 正の曲率：
- 球面（直交群）：
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