初等代数学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:21 UTC 版)
数の 0 は最小の非負整数である。0 の後続の自然数は 1 であり、0 より前に自然数は存在しない。数 0 を自然数に含めることも含めないこともあるが、0 は整数であり、有理数であり、実数（あるいは代数的数、複素数）である。 数 0 は正でも負でもなく、素数でも合成数でも単数でもない。一方、0 は偶数である。 以下は数 0 を扱う上での初等的な決まりごとである。これらの決まりは x を任意の実数あるいは複素数として適用して構わないが、それ以外の場合については何も言及していないということについては理解されなければならない。 加法: x + 0 = 0 + x = x. つまり 0 は加法に関する単位元である。 減法: x − 0 = x, 0 − x = −x. 乗法: x · 0 = 0 · x = 0. 除法: x が 0 でなければ 0⁄x = 0 である。しかし x⁄0 は、0 が乗法に関する逆元を持たないために、（従前の規則の帰結としては）定義されない（ゼロ除算を参照）。実数の範囲で考えるならば、正の数 x に対し、商 x⁄y の y を 0 に正の側から近づけるならば、商の値は正の無限大に向かって限りなく増加する。一方 y を負の側から 0 に近づければ、商の値は負の無限大に向かって限りなく減少する。記号で書けば、 x > 0 ⟹ lim y → 0 + x y = + ∞ , x > 0 ⟹ lim y → 0 − x y = − ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}x>0&\implies \lim _{y\to 0^{+}}{x \over y}=+\infty ,\\x>0&\implies \lim _{y\to 0^{-}}{x \over y}=-\infty \end{aligned}}} が成立する。 冪乗: x = 0 の場合にきちんと定義できないまま残される文脈があること（0の0乗を参照）を除けば、x0 = 1 である。任意の正の実数 x に対して 0x = 0 である。 0⁄0 なる式が、f(x)⁄g(x) の形の式の極限を決定しようとするなかで、それぞれ独立に分子分母の極限を取った結果として現れるかもしれない。これは不定形（英語版）と呼ばれる。これは単に必ずしも極限が求まらないということを意味するものではなく、むしろ f(x)⁄g(x) の極限は、それが存在するならば、ロピタルの定理のような別の方法によって求めるべきであるということを意味する。 0 個の対象の和は 0 であり、 0 個の対象の積は 1 である。階乗 0! は 1 と評価される。 0 = 13 − 12 = 03 − 02、次は4。(オンライン整数列大辞典の数列 A045991) フィボナッチ数列では、0 は 1 の前者である。 図形数では、1 の前に 0 を含めることがある。 1桁は全て回文数である。そのため、0 も回文数である。 三角関数、三角比では０度を表す。
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