再定式化と意味とは? わかりやすく解説

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再定式化と意味

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/11/23 00:17 UTC 版)

マシュケの定理」の記事における「再定式化と意味」の解説

有限群の表現論に対す一つアプローチ加群の理論通して考えることである。群 G の表現は、群環 KG 上の加群読み替えることができ、既約表現単純加群対応するマシュケの定理は「一般有限次元表現既約部分表現直和によって構成することができるか」という問い対す答えである。この問い加群の理論読み替えると「任意の加群半単純であるか」となる。加群言葉定式化したマシュケの定理は、以下のように述べられる。 G を有限群、K を G の位数割らない標数を持つ体とする。このとき G の群環 KG半単純環である。 この定理重要性は、半単純環に関するよく展開され理論、特にアルティン-ウェダーバーンの定理(ウェダーバーンの構造定理)から生じる。K が複素数体 C のとき、定理から群環 KG複素正方行列環のいくつかのコピー直積分解されることが示されるそれぞれの因子いずれも既約表現与える)。標数 0 の体 K が代数閉体ない場合例え実数体 R や有理数体 Q)には、主張は「群環 KG は、K 上のある斜体上の行列環直積になる」と幾分複雑になるそれぞれの因子は G の K 上の既約表現対応する翻って表現論では、マシュケの定理(あるいはそれを加群用いて述べたもの)から、有限群 G の表現に関する一般的な構成法が実際に計算することなし得られる定理から任意の表現既約成分直和になるので、任意の表現分類するという表現論課題は、既約表現分類するというより扱いやすい課題帰着される。さらに、ジョルダン-ヘルダーの定理から従うこととして、既約部分表現への直和分解一意ではないかしれないが、既約成分重複度矛盾なく定まる。特に、有限群標数 0 の体上で表現は、同型を除いてその指標によって決定される

※この「再定式化と意味」の解説は、「マシュケの定理」の解説の一部です。
「再定式化と意味」を含む「マシュケの定理」の記事については、「マシュケの定理」の概要を参照ください。

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