アルティン-ウェダーバーンの定理

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アルティン・ウェダーバーンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/04 09:30 UTC 版)

抽象代数学において、アルティン・ウェダーバーンの定理 (英: Artin–Wedderburn theorem) は半単純環や半単純代数の分類定理である。

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アルティン・ウェダーバーンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/02 17:14 UTC 版)

「非可換環」の記事における「アルティン・ウェダーバーンの定理」の解説

詳細は「アルティン・ウェダーバーンの定理」を参照 アルティン・ウェダーバーンの定理は半単純環と半単純多元環の分類定理である。定理が述べているのは、（アルティン的）半単純環 R はある整数 ni に対して可除環 Di 上の有限個の ni 次行列環の積に同型である。ni と Di は両方とも添え字 i の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の単純左または右アルティン環は可除環 D 上の n 次行列環に同型で、n と D は両方とも一意的に決まる。 直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元のすべての単純環（単純多元環）は行列環であることを意味する。これはジョセフ・ウェダーバーン（英語版）のもともとの結果である。エミール・アルティンは後にそれをアルティン環の場合に一般化した。

アルティン・ウェダーバーンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:31 UTC 版)

「半単純環」の記事における「アルティン・ウェダーバーンの定理」の解説

任意の半単純環は有限個の単純アルティン環の直積として（順序の違いを除いて）一意的に書けるので、半単純環の分類は単純アルティン環の分類に帰着する。単純アルティン環は同型の違いを除いてちょうど Mn(D)（n 次全行列環）の形をしている。ただし n > 0 で D は体。よって次のように言える。 アルティン・ウェダーバーンの定理。A を環とする。以下は同値である。 A は半単純である。 A は Mn1(D1) × ... × Mnp(Dp) と同型である。ただし n1, ..., np > 0 は整数で D1, ..., Dp は（可換とは限らない）体である。 A は EndD1(E1) × ... × EndDp(Ep) と同型である。ただし D1, ..., Dp は体で E1, ..., Ep はそれぞれ D1, ..., Dp 上の0でない有限次元ベクトル空間である。