アルティン・シュライアー理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 06:21 UTC 版)
数学において、アルティン・シュライアー理論 (Artin–Schreier theory) は、標数 p の体の p 次ガロワ拡大の記述を与える。従ってそれはクンマー理論では記述できない場合を扱う。
アルティン・シュライアー拡大
K を標数 p の体とし、a をこの体のある元とする。多項式 Xp − X + a の分解体への K の拡大をアルティン・シュライアー拡大と呼ぶ。b がこの多項式の 1 つの根であれば、0 から p − 1 までの i に対して b + i がその多項式の全ての根であり（cf. フロベニウス準同型）、それらは相異なる。すると 2 つの場合があり得る。
- 根の 1 つが K に属していれば、すべての根は K に属しており、多項式は K 上既に分解している。
- そうでないとき、つまり根の 1 つが K に属していなければ、どの根も K に属していない、言い換えると a は x ∈ K に対して x − xp の形ではない。このとき多項式 Xp − X + a は K 上既約である。その分解体（および根体） K[b] は K の p 次巡回拡大であり、拡大のガロワ群の生成元（の 1 つ）は
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アルティン・シュライアー理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/29 07:10 UTC 版)
「アルティン・シュライアー理論」の記事における「アルティン・シュライアー理論」の解説
アルティン・シュライアー理論は上の事実の逆をいうものである。標数 p の体の p 次巡回拡大はすべてアルティン・シュライアー拡大である。これは例えばヒルベルトの定理90の加法版を使って証明される。 p 次非ガロワ拡大はこの理論によって記述することはできない。例えば、p 個の元を持った素体上の一変数関数体 Fp(T) において不定元 T の p 乗根（つまり不定元 X の多項式 Xp − T の根、これは非分離である）を添加して得られる拡大。 従って冪根による分解の理論の標数 p の類似理論はアルティン・シュライアー拡大を認めなければならない。拡大次数が標数の冪の拡大を得るにはヴィットベクトル（フランス語版）の理論を使う。
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