アルティン–ウェダーバーンの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/18 04:29 UTC 版)
「群環」の記事における「アルティン–ウェダーバーンの定理」の解説
前節の記号を引き続き用いて以下の基本的な定理が直接的に示せる。 群環 K[G] は群 G の h-個の既約表現 Si の K-自己準同型環 EndK(Si) の直和に同型である: K [ G ] ≃ ⨁ i = 1 h End K ( S i ) . {\displaystyle K[G]\simeq \bigoplus _{i=1}^{h}\operatorname {End} _{K}(S_{i}).} さらに K が代数閉体と仮定すれば、有限次元半単純環に関するアルティン・ウェダーバーンの定理から同じ結果が得られる。 群環 K[G] は KG の部分空間であるから、各Si の次元を di とすれば、群環自身の次元は g = ∑ i = 1 h d i 2 {\displaystyle g=\sum _{i=1}^{h}d_{i}^{2}} で与えられる（K が正標数の場合はfr:Représentation régulière#Identités remarquablesを見よ）。 K[G] の元 f が中心に属するための必要十分条件は、その成分が Si 上の相似拡大 (homothety) となることである。さらに類函数に関する結果を用いれば、その Si における相似比 λi が λ i = 1 d i ∑ s ∈ G f ( s ) χ i ( s ) {\displaystyle \lambda _{i}={\frac {1}{d_{i}}}\sum _{s\in G}f(s)\chi _{i}(s)} で与えられる。
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