ゴールディーの定理とは? わかりやすく解説

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ゴールディーの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/10/02 17:14 UTC 版)

非可換環」の記事における「ゴールディーの定理」の解説

詳細は「ゴールディーの定理(英語版)」を参照 数学において、ゴールディーの定理 (Goldie's theorem) は、1950年代Alfred Goldie(英語版) によって証明された、環論における基本的な構造結果である。今では右ゴールディー環と呼ばれている環 R は、自身の上右加群としてユニフォーム次元有限(="有限ランク")で、R の部分集合の右零化イデアルについて昇鎖条件満たすのである。 ゴールディーの定理が述べているのは、半素右ゴールディーはちょう半単純アルティン古典的商環英語版) (classical ring of quotients) を持つ環であるということである。そしてこの商環構造アルティン・ウェダーバーンの定理によって完全に決定される。 とくに、ゴールディーの定理は半素右ネーター環適用できるなぜならば定義によって右ネーター環すべての右イデアルについて昇鎖条件成り立つからである。これは右ネーター環が右ゴールディーであることを保証するのに十分である。逆は成り立たない全てのオール域(英語版)は右ゴールディー域であり、したがってすべての可換整域は右ゴールディー域である。 ゴールディーの定理の結果1 つは、これもまたゴールディーよるものだが、すべての半素主右イデアル環は素主右イデアル環有限個の直和同型であるというものであるすべての主右イデアル環は右オール上の行列環同型である。

※この「ゴールディーの定理」の解説は、「非可換環」の解説の一部です。
「ゴールディーの定理」を含む「非可換環」の記事については、「非可換環」の概要を参照ください。

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