共変性と反変性

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共変性と反変性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)

「特殊相対性理論」の記事における「共変性と反変性」の解説

詳細は「ベクトルの共変性と反変性」を参照 V の元 a→ を基底 e→0, e→1, e→2, e→3 で表す場合、a→ の各成分の添え字を a → = a μ e → μ のように上つきに書く（アインシュタインの縮約で表記）。一方、a→ を e→0, e→1, e→2, e→3 の双対基底 e→0, e→1, e→2, e→3 を用いて表す場合、a→ の各成分の添え字を a → = a μ e → μ のように下つきに書く。明らかに a μ = η ( a → , e → μ ) , a μ = η ( a → , e → μ ) である。また正規直交基底の場合は明らかに ( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) = ( a 0 , − a 1 , − a 2 , − a 3 ) が成立する。 V の2つの元 a→、b→ のミンコフスキー内積をとるとき、一方を基底 e→0, e→1, e→2, e→3 で表し、他方をその双対基底で表すと、 η ( ∑ μ a μ e → μ , ∑ ν b ν e → ν ) = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a μ b μ と通常の内積のように書け、ミンコフスキー内積特有の符号の煩わしさから解放されるので便利である。 基底を一つ指定したとき、aμ は添え字 μ に対し反変、aμ は添え字 μ に対し共変であるという。これらの名称は、基底を取り替えた際の成分の変化に由来する。すなわち、ミンコフスキー空間上にもう1組の基底 (e′→0, e′→1, e′→2, e′→3) を用意し、基底の間の座標変換が成分表示で e′→ν = e→μΛμν と書けていたとすると4元ベクトル a→ の反変成分 a→ = a′νe′→ν = aμe→μ は、 a′ν = (Λ−1)νμ aμ という関係になるので、ダッシュつきの座標系にうつるとき、基底とは反対に Λμν の逆行列で結ばれる。それゆえ、「反対の変化」、すなわち反変と呼ばれる。 一方、基底の変更に対する共変成分の変化を見るため、双対基底が基底の変更でどのような影響を受けるか調べる。 e′→ν = e→μΓμν とすると、 δ μ ν = η ( e → ′ μ , e → ν ′ ) = Γ μ ξ Λ κ ν η ( e → ξ , e → κ ) = Γ μ ξ Λ κ ν δ ξ κ = Γ μ ξ Λ ξ ν すなわち、Γμν は Λμν の逆行列 (Λ−1)μν であるので、双対基底は e′→ν = e→μ(Λ−1)μν という変換規則に従うことがわかる。よって4元ベクトル a→ の共変成分 a→ = a′νe′→ν = aμe→μ は、 a′ν = Λνμ aμ という関係になるので、ダッシュつきの座標系にうつるとき、基底と共通の行列 Λμν で結ばれる。それゆえ、「共通の変化」、すなわち共変と呼ばれる。