チャーン類の構成

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チャーン類の構成

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 22:27 UTC 版)

「チャーン類」の記事における「チャーン類の構成」の解説

この問題へのアプローチには数々の方法があり、それらの各々はチャーン類の少しずつ異なる側面に焦点を当てている。 チャーン類への元々のアプローチは、代数トポロジーを通してであった。チャーン類は、分類空間への V からの写像（この場合には、無限グラスマン多様体（英語版）(Grassmannian)である）を提供するホモトピー論を通して発生する。多様体上の任意のベクトル束 V は、分類空間の上の普遍束の引き戻しとして実現される。従って、V のチャーン類は、普遍束のチャーン類の引き戻しとして定義することができる。これらの普遍チャーン類はシューベルトサイクル（英語版）(Schubert cycle)によって、明示的に書き下すことができる。 チャーンのアプローチは、微分幾何学を使っていて、この記事において主として述べられる曲率のアプローチを使っていた。彼は以前の定義が実は彼の定義と同値であることを示した。 アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)のアプローチもあり、彼は線束の場合の定義のみが公理論的に必要であることを示した。 チャーン類は代数幾何学で自然に発生した。代数幾何学での一般化されたチャーン類は、任意の非特異多様体の上のベクトル束（さらに詳しくは、局所自由層）に対して定義することができる。代数幾何学的なチャーン類は、基礎となる多様体が何らかの特別な性質を持っていることを要求しない。特に、ベクトル束は複素数である必要はない。 特別なことを考えずに、チャーン類の直感的な意味をベクトル束の切断（英語版）(section)の｢ゼロ点を要求する｣ことに関係付ける。例えば、髪の毛の生えたボールを櫛で完全にとかすことはできないという定理のようなものです（毛の生えたボールの定理（英語版）(hairy ball theorem)）。これは厳密に言うと、実 ベクトル束（ボールの上の｢髪の毛｣は、実際には直線のコピーである）についての質問であるにも関わらず、髪の毛が複素数である場合、あるいは他の多くの場の上の 1-次元射影空間に対し、一般化できる（以下の複素数の髪の毛のボールの定理の例を参照）。 さらなる議論はチャーン・サイモンズ理論を参照。