チャーン多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 22:27 UTC 版)
チャーン多項式は、チャーン類を扱い、系統的に考え方を関連付ける便利な方法である。定義により、複素ベクトル束 E に対し、そのチャーン多項式(Chern polynomial) ct は、 c t ( E ) = 1 + c 1 ( E ) t + ⋯ + c n ( E ) t n . {\displaystyle c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.} により与えられる。これは新しい不変量ではない。単純に、形式的変数 t は、次数 ck(E) の跡(track)を追い続ける。特に、 c t ( E ) {\displaystyle c_{t}(E)} は E の全チャーン類(total Chern class) c ( E ) = 1 + c 1 ( E ) + ⋯ + c n ( E ) {\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)} により完全に決定される。また、逆も成立する。 ホイットニー和公式は、（以下に見るように）チャーン類の公理のひとつであるが、いわば、 c t ( E ⊕ E ′ ) = c t ( E ) c t ( E ′ ) {\displaystyle c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E')} の意味で、ct は加法的である。 そこで、 E = L 1 ⊕ . . . ⊕ L n {\displaystyle E=L_{1}\oplus ...\oplus L_{n}} が（複素）ラインバンドルの直和であれば、和公式は、 c t ( E ) = ( 1 + a 1 ( E ) t ) ⋯ ( 1 + a n ( E ) t ) {\displaystyle c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)} から従う。ここに a i = c 1 ( L i ) {\displaystyle a_{i}=c_{1}(L_{i})} は第一チャーン類である。根 a i ( E ) {\displaystyle a_{i}(E)} は、E のチャーンの根(Chern roots)と呼ばれ、多項式の係数を決定する。つまり、 c k ( E ) = σ k ( a 1 ( E ) , ⋯ , a n ( E ) ) {\displaystyle c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\cdots ,a_{n}(E))} である。ここに σk は基本対称多項式（英語版）(elementary symmetric polynomials)である。言い換えると、ai を形式的変数の式と考えると、ck は、σk である。対称多項式の基本的事実は、任意の多項式、たとえば、ti は、 ti の基本対称多項式である。分裂原理（英語版）(splitting principle)や環理論のどちらかにより、任意のチャーン多項式 c t ( E ) {\displaystyle c_{t}(E)} は、コホモロジー環へ拡張の後、線型要素に分解する。この議論では、E は線束の直和である必要はない。 「複素ベクトル束 E の任意の対称多項式 f を σk の基本対称多項式として書くことができ、σk を ck(E) へ置き換えることができる。」 例： 多項式 sk を s 1 = σ 1 , s 2 = σ 1 2 − 2 σ 2 {\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}} などで t 1 k + ⋯ + t n k = s k ( σ 1 ( t 1 , ⋯ , t n ) , ⋯ , σ k ( t 1 , ⋯ , t n ) ) {\displaystyle t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\cdots ,t_{n}),\cdots ,\sigma _{k}(t_{1},\cdots ,t_{n}))} とすることができる（ニュートンの恒等式を参照。）。和 ch ( E ) = e a 1 ( E ) + ⋯ + e a n ( E ) = ∑ s k ( c 1 ( E ) , ⋯ , c n ( E ) ) / k ! {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\cdots ,c_{n}(E))/k!} は E のチャーン指標と呼ばれ、その始めのいくつかの項は、 ch ( E ) = rk + c 1 + 1 2 ( c 1 2 − 2 c 2 ) + 1 6 ( c 1 3 − 3 c 1 c 2 + 3 c 3 ) + . . . , {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+...,} である。 例： （E を記述からはずし）E のトッド類(Todd class)は、 td ( E ) = ∏ 1 n a i 1 − e − a i = 1 + 1 2 c 1 + 1 12 ( c 1 2 + c 2 ) + … . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}\\&=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\dots .\end{aligned}}} で与えられる。
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