チャーン・ヴェイユ理論でのチャーン類
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 22:27 UTC 版)
「チャーン類」の記事における「チャーン・ヴェイユ理論でのチャーン類」の解説
微分可能多様体 M の上の複素ランク（複素階数） n のエルミートである複素ベクトル束 V が与えられると、V の各々のチャーン類の表現（チャーン形式とも言う） ck(V) は、V の曲率形式 Ω の特性多項式を係数として与えられる。 det ( i t Ω 2 π + I ) = ∑ k c k ( V ) t k {\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}} この行列式は、M 上の偶数の複素微分形式の可換代数に係数を持つ t の多項式を、各々の要素として持つ n × n 行列の環である。V の曲率形式 Ω は次のように定義される。 Ω = d ω + 1 2 [ ω , ω ] {\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]} ここに、ω 接続形式であり、d を外微分である。さらに、ω を V のゲージ群のゲージ形式（英語版）として表すこととする。ここでは、スカラー t は行列式からの和を生成する不定元であり、I は n × n 単位行列を表すとする。 与えられた表現がチャーン類を表しているということは、完全形式を加えること違いを除いて、ここでは「類」を意味する。すなわち、チャーン類は、ド・ラームコホモロジーの意味でコホモロジー類である。チャーン形式のコホモロジー類が、V の接続の選択には依存していないことを示すことができる。 行列の等式 tr(ln(X))=ln(det(X)) と ln(X + I) のマクローリン級数を使うと、このチャーン類の展開は次のようになる。 ∑ k c k ( V ) t k = [ I + i t r ( Ω ) 2 π t + t r ( Ω 2 ) − t r ( Ω ) 2 8 π 2 t 2 + i − 2 t r ( Ω 3 ) + 3 t r ( Ω 2 ) t r ( Ω ) − t r ( Ω ) 3 48 π 3 t 3 + ⋯ ] . {\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right]\ .}
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