粒子フィルタ 粒子フィルタの概要

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粒子フィルタ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/04 04:05 UTC 版)

この手法はふつうベイズモデルを推定するのに用いられ、バッチ処理であるマルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC) の逐次 (オンライン) 版である。またこの手法は重点サンプリング法にも似たところがある。 うまく設計すると、粒子フィルタはMCMCよりも高速である。拡張カルマンフィルタや無香カルマンフィルタ (Unscented カルマンフィルタ) に比べて、サンプル点が十分多くなるとベイズ最適推定に近付くことからより高い精度の解が得られるので、これらの代わりに用いられることがある。また手法を組み合わせて、カルマンフィルタを粒子フィルタの提案分布として使うこともできる。

目的

粒子フィルタの目的は、観測不可能な状態列 $x_{k}$ $(k=0,1,2,3,\ldots )$ の確率分布を観測値 $y_{k}$ $(k=0,1,2,3,\ldots )$ から推定することである。ベイズ推定値 $x_{k}$ は一つ過去の確率分布 $p(x_{k}|y_{0},y_{1},\ldots ,y_{k})$ から得られるのに対し、マルコフ連鎖法では過去の全てを含む確率分布 $p(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}|y_{0},y_{1},\ldots ,y_{k})$ より求められる.

状態空間モデル

粒子フィルタでは観測不可能な状態 $x_{k}$ と観測値 $y_{k}$ は以下のように表せるとする。

観測不可能な状態列 $x_{0},x_{1},\ldots$ は以下を満たす1階マルコフ過程。つまり $x_{k}$ は $x_{k-1}$ で決まる。ただし初期値 $x_{0}$ の確率分布 $p(x_{0})$ を持つものとする。なお、これは2つ前 $x_{k-2}$ の状態を使えないという意味ではなく、必要なら2つ前の状態も $x_{k-1}$ に含めて使うという意味である。

$x_{k}|x_{k-1}\sim p_{x_{k}|x_{k-1}}(x|x_{k-1})$

観測データ列 $y_{0},y_{1},\ldots$ は $x_{0},x_{1},\ldots$ が既知であるという条件の下で独立である。換言すると $y_{k}$ は $x_{k}$ のみに従属する。

$y_{k}|x_{k}\sim p_{y|x}(y|x_{k})$

その上で、下記に従う状態方程式を状態空間モデルと呼ぶ。

$x_{k}=f_{k}(x_{k-1},v_{k})\,$

$y_{k}=h_{k}(x_{k},w_{k})\,$

ただし $v_{k}$ も $w_{k}$ も異なる $k$ について互いに独立であり、ある確率分布に従うノイズで、$v_{k}$ をシステムノイズ、$w_{k}$ を観測ノイズと呼ぶ。また、$f_{k}(\cdot )$ と $h_{k}(\cdot )$ は既知の関数である。

カルマンフィルターの状態方程式は状態空間モデルの一種であり、$x_{k}$ と $y_{k}$ が実数の列ベクトル、関数 $f_{k}(\cdot )$ と $h_{k}(\cdot )$ が線形、$v_{k}$ と $w_{k}$ が多変量正規分布に従うとすると、下記形式で表現でき、

${\begin{aligned}x_{k}&=F_{k}x_{k-1}+G_{k}v_{k}\\y_{k}&=H_{k}x_{k}+w_{k}\end{aligned}}$

$x_{k}$ の確率分布は多変量正規分布になり、カルマンフィルタによってベイズ推定と厳密に一致する解が得られる。線形でない場合などは、カルマンフィルタは1次近似に過ぎない。粒子フィルタもモンテカルロ法による近似には変わりないが、十分な数の粒子があれば高い精度が得られる。