幾何数列

デジタル大辞泉

きか‐すうれつ【幾何数列】

読み方：きかすうれつ

⇒等比(とうひ)数列

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等比数列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/08/14 08:16 UTC 版)

等比数列（とうひすうれつ）または幾何数列（きかすうれつ、英: geometric progression, geometric sequence）は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比（こうひ、英: common ratio）という。

例えば初項が 4, 公比が 3 の等比数列の最初の数項を列挙すると 4, 12, 36, 108, … となる。ある数列について、隣り合う項の比（この場合、12/4, 36/12, 108/36, …）が常に等しいならその数列は等比数列である。

等比数列 {a_n} について、（定義より公比は 0 でないため）公比 r は任意の n 番目の項とその次の項の比 r = a_n+1/a_n から得られる（特に r = 1 の場合は公差が 0 の等差数列でもある）。等比数列の各項は初項 a と公比 r を用いて具体的に以下のように表せる。

$$a,\,ar,\,ar^{2},\,\dots ,\,ar^{n},\,\dots \,.$$

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ という幾何級数が 2 に収束することを幾何学的に示した図。

$${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}ar^{k}\\&=a\lim _{n\to \infty }{\frac {\;1-r^{n+1}}{1-r\;}}\\&{\overset {|r|<1}{=}}{\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}$$

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