幾何平均定理とは? わかりやすく解説

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幾何平均定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/07/03 05:03 UTC 版)

灰色の正方形の面積が灰色の長方形の面積と一致する。
交弦定理英語版の特別な場合としての幾何平均定理
q を 1 とすると p が図に現れる
相加・相乗平均の関係式

歴史

この定理はユークリッド紀元前360年頃-紀元前280年頃)『原論』の中で第6巻の命題8の系として記述されている。また、第2巻の命題14で述べられている長方形を正方形に変換する方法とこの方法は実質的に一致しているが、その正当性を示すのには幾何平均定理は用いずに、より複雑な証明を用いている[1]

証明

相似による照明

定理の証明:

三角形 ACD , △ CBD相似。なぜならば

  • 三角形 ABC, △ACD についてが成立。よって二角相等で、
  • さらに、三角形 ABC, △CBD についてが成立。よって二角相等で、

よって、三角形 ACD, △BCD はどちらも ABC に相似、つまり

相似性から、辺の長さの比について得られる式を変形して定理が示される[1]

脚注

注釈

出典

  1. ^ a b c d Wellstein, Hartmut; Kirsche, Peter (2009). Elementargeometrie. Springer. pp. 76–77. ISBN 9783834808561  (German, online copy, p. 76, - Google ブックス)



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