灰色の正方形の面積が灰色の長方形の面積と一致する。
h
2
=
p
q
⇔
h
=
p
q
{\displaystyle h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}}
交弦定理（英語版 ） の特別な場合としての幾何平均定理
|
C
D
|
|
D
E
|
=
|
A
D
|
|
D
B
|
⇔
h
2
=
p
q
{\displaystyle |CD||DE|=|AD||DB|\Leftrightarrow h^{2}=pq}
q を 1 とすると √ p
相加・相乗平均の関係式
この定理はユークリッド （紀元前 360年頃-紀元前280年頃）『原論 』の中で第6巻の命題8の系として記述されている。また、第2巻の命題14で述べられている長方形を正方形に変換する方法とこの方法は実質的に一致しているが、その正当性を示すのには幾何平均定理は用いずに、より複雑な証明を用いている[ 1]
△
A
B
C
∼
△
A
C
D
∼
△
C
B
D
{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD\sim \triangle CBD}
定理の証明:
三角形 △ACD , △ CBD は相似 。なぜならば
三角形 △ABC , △ACD について
∠
A
C
B
=
∠
A
D
C
=
90
∘
,
∠
B
A
C
=
∠
C
A
D
;
{\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ },\quad \angle BAC=\angle CAD;}
△
A
B
C
∼
△
A
C
D
.
{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD.}
さらに、三角形 △ABC , △CBD について
∠
A
C
B
=
∠
C
D
B
=
90
∘
,
∠
A
B
C
=
∠
C
B
D
;
{\displaystyle \angle ACB=\angle CDB=90^{\circ },\quad \angle ABC=\angle CBD;}
△
A
B
C
∼
△
C
B
D
.
{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle CBD.}
よって、三角形 △ACD , △BCD はどちらも △ABC に相似、つまり
△
A
C
D
∼
△
A
B
C
∼
△
C
B
D
.
{\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle CBD.}
相似性から、辺の長さの比について得られる式を変形して定理が示される[ 1]
h
p
=
q
h
⇔
h
2
=
p
q
⇔
h
=
p
q
(
h
,
p
,
q
>
0
)
{\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}
