If and only if

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同値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/22 05:29 UTC 版)

同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if（～のとき、かつそのときに限る）」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。

真理値表

命題 P	命題 Q	P ⇔ Q
真	真	真
真	偽	偽
偽	真	偽
偽	偽	真

性質

基本的な性質

同値の基本的な性質は以下の通り。
（ $\Rightarrow$ 「必要」はこの項目へ転送されています。「必要」の語義については、ウィクショナリーの「必要」の項目をご覧ください。

二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 p は q である為の十分条件である 」 あるいは 「 q は p である為の必要条件である 」 という。

また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である 」 というとき、「 p は q である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 p と q とは同値である 」 という。

例 1

ある数が4の倍数である為には、その数は少なくとも偶数である必要がある。つまり、偶数であることは、4の倍数である為の必要条件である。ただし、偶数であっても、必ずしも4の倍数であるとは限らない。

また、ある数が4の倍数である為には、その数が8の倍数であれば十分である。つまり、8の倍数であることは、4の倍数である為の十分条件である。ただし、その数が8の倍数でなくとも、必ずしも4の倍数でないとは限らない。

他方、ある数が2の倍数である為には、その数は少なくとも偶数でなければならない。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の必要条件である。また、その数が偶数であれば、その数は必ず2の倍数である。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の十分条件である。すなわち、偶数であることは、2の倍数である為の必要十分条件であり、両者は同値である。

例 2

自然数変数 n についての条件 p(n), q(n) を次のように定める。

• p(n)： n > 10
• q(n)： 2n > 20

そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。

例 3

実数変数 x についての条件 p(x), q(x) を次のように定める。

• p(x)： x > 0
• q(x)： x² > 0

そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、−1 は q(x) を満たすが ｐ(x) を満たさないので、 「q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす」 とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。

例 4

￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 A 、B についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ￢ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。A 、B は { 真、偽 } の元の変数である。)

• p(A, B)： ￢( A ⇔B ) = 真
• q(A, B)： ( ￢A )⇔B = 真

そのとき、p(A, B) は q(A, B) である為の必要十分条件である。すなわち、「￢( A ⇔B ) = 真」 は 「( ￢A )⇔B = 真」 である為の必要十分条件である。

関連項目

• 数理論理学
• 命題
• 同一性

外部リンク

• Necessary and Sufficient Conditions （英語） - スタンフォード哲学百科事典「必要条件と十分条件」の項目。
• Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Iff". mathworld.wolfram.com (英語).

Weblio日本語例文用例辞書

「If and only if」の例文・使い方・用例・文例

• 私はまず、この点をAmandaに確認します。
• 11月21日にHolyoke Bar and Grillで、Pete Laurenの退職パーティーが開かれることをお知らせします。11 月10 日までにお返事をください。
• 来月のロンドンへの出張のために、飛行機の便を予約して、Southland銀行の近くの宿泊施設を手配してもらえますか。
• 年次監査を行うために、Bradford and Partnersの会計士たちが10 月10 日の午前10 時に当社を訪ねてくる予定です。
• 一般に公開されたことのない、Ruth and Steve Whitmanの個人コレクションの絵画を含む、およそ120 点の作品が展示される。
• Ruth and Steve Whitmanを紹介すること。
• Conteeさんは、昨年Hope and Learnの会長に就任された、受賞歴のあるミュージカル女優さんです。
• Hope and Learnは遠隔地に学校を建設する資金を集める慈善団体です。
• Hope and Learnへの寄付は、この夜会の最後に集めます。
• 気をつけの姿勢で立つ (⇔stand at ease).
• 等位[対等]接続詞 《対等の語句を接続する and, but など》.
• 等位接続詞 《and, but, or, for など; ⇔subordinate conjunction》.
• 連結接続詞 《and など》.
• 【文法】 相関接続詞 《both…and; either…or など》.
• 蒸留酒, 火酒 《brandy, gin, rum, whiskey など》.
• 英国陸軍士官学校 《Berkshire の Sandhurst /sndhɚːst｜‐həːst/ にある》.
• (英国の)運輸省. the Ministry of Education(, Science and Culture) (日本の)文部省.
• 中央裁判所施設 《London の Strand 街にある高等法院の建物》.
• 弱形 《and の /ən/など》.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Committee of Ways and Means 歳入委員会.