Fractal dimension

ウィキペディア

フラクタル次元

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/18 08:39 UTC 版)

コッホ雪片の最初の繰り返し4回

フラクタル次元（フラクタルじげん、英: fractal dimension、D）とは、フラクタル幾何学において、より細かなスケールへと拡大するにつれあるフラクタルがどれだけ完全に空間を満たしているように見えるかを示す統計的な量である。

フラクタル次元にはさまざまな定義がある。最も重要な理論的フラクタル次元はレニー次元、ハウスドルフ次元、パッキング次元の3つである。実用上ではボックス次元と相関次元の2つが実装が容易なこともあり広く使われている。古典的なフラクタルのいくつかではこれらの次元は全て一致するが、一般にはこれらは等価なものではない。

例えば、コッホ雪片の位相次元は1であるが、これは決して曲線ではない――コッホ雪片上の任意の2点の間の弧長は無限大である。コッホ雪片の小片は線のようではないが、かといって平面やその他の何かの一部のようでもない。1次元の物体であると考えるには大きすぎるが、2次元の物体であると考えるには薄すぎるとも言え、ではその次元はある意味1と2の間の数値として表されるのではないかという考察に導かれる。これがフラクタル次元の概念を想像してみる簡単な方法の1つである。

具体的な定義

図1　単位図形による次元の定義

フラクタル構造を生成するアプローチは主に2つある。1つは単位となる図形から成長させる方法（図1）、もう1つはシェルピンスキーの三角形のようにもととなる構造を続けて分割してゆく方法（図2）である。ここでは第2のアプローチによってフラクタル次元を定義する。

ユークリッド次元 D に存在する線形サイズ1の図形があり、そのサイズを各空間方向に 1/l に縮めると、もとの図形を埋めるには N = l^D 個の自己相似図形が必要となる（図1）。しかしながら、

$D={\frac {\log N(l)}{\log l}}$

図2　もとの構造を再帰的に分割することで得られるシェルピンスキーの三角形

同様に、コッホ雪片のフラクタル次元は

$D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\log 4^{k}}{\log 3^{k}}}={\frac {\log 4}{\log 3}}\approx 1.262$

腸壁の顕微鏡写真

フラクタル次元の概算は、物理学、画像解析、音響学、リーマンゼータ関数の零点、（電子）化学プロセス、医学など、さまざまな領域で用いられている。応用の一例として、人間の大腸粘膜表皮はフラクタル的な構造を示し、これは表面積を最大化するためと考えられるが、病変するとそのフラクタル次元に変化が現れる。良性腫瘍では1.38、癌では1.50前後となり有意差があるとする研究があり、サンプルのフラクタル次元概算による客観的な診断が目指されている。

実際の次元の概算は数字的もしくは実験上のノイズに非常に敏感であり、また特にデータの量の制限に影響されやすい。極めて多くのデータ点の数が得られるのでない限り避けようのない限界が存在するので、 フラクタル次元の概算に基づく主張、特に低次元での動的挙動の主張には注意が必要である。

参考文献

• Mandelbrot, Benoît B., The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books, 2004)
  • 日本語訳　ブノワ・マンデルブロ『禁断の市場　フラクタルでみるリスクとリターン』　高安秀樹監訳　東洋経済新報社　2008年　ISBN 978-4-492-65417-0
• 高安秀樹「フラクタルの物理」『物性研究』第44巻第6号、物性研究刊行会、1985年9月、885-981頁、 CRID 1050001202063418112、 hdl:2433/91795、 ISSN 0525-2997、NDLJP:10933147、2023年8月18日閲覧。 

関連項目

• 相似次元
• フラクタル幾何
• 超撥水 - レーザー・レーサーのような高性能ウェアの開発にはフラクタル次元による表面構造の評価が用いられる。