関連した分類
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/17 01:16 UTC 版)
ディンキン図形は多くの異なる関係する対象を分類すると解釈でき、表記 "An, Bn, ..." は文脈に応じて「すべての」そのような解釈を指すのに使われる；この曖昧さは混乱のもととなりうる。 中心的な分類は、単純リー環はルート系を持ち、それに付随して（有向）ディンキン図形があることである；これら3つは全て例えば Bn と呼ばれる。 「無」向ディンキン図形はコクセター図形の形であり、ワイル群と対応し、これはルート系に付随する有限鏡映群（英語版）である。したがって Bn は無向図式（特別な種類のコクセター図式）、ワイル群（具体的な鏡映群）、あるいは抽象的なコクセター群も意味する。 ワイル群は抽象的にコクセター群と同型であるが、同型写像は単純ルートの順序付きの選び方に依存することに注意。ディンキン図形の表記は標準的なものがあるが、コクセター図形・群の表記は様々で、ディンキン図形の表記と一致することもしないこともあることにも注意。 最後に、付随する対象が同じ表記で呼ばれることも「時には」あるが、これはつねに規則正しくされるわけではない。例えば： ルート系によって生成されるルート格子、例えば E8 格子（英語版）。これは自然に定義されるが、1対1ではない――例えば、A2 と G2 はともに六角格子（英語版）を生成する。 付随する多胞体――例えば Gosset 421 polytope（英語版） は "the E8 polytope" とも呼ばれる。その頂点は E8 ルート系から生じ、対称変換群として E8 コクセター群を持つからである。 付随する二次形式あるいは多様体――例えば、E8 多様体（英語版）は E8 格子で与えられる交叉形式を持つ。 これら後者の表記はほとんど例外図形に付随する対象に使われる。古典図形 (A, B, C, D) に付随する対象は代わりに伝統的な名前を持っているのである。 添え字 (n) は、図形の頂点の個数、基底の単純ルートの個数、ルート格子とルート系の線型包の次元、コクセター群の生成元の個数、リー環のランクに等しい。しかしながら、n はリー環の定義加群（基本表現（英語版））の次元には等しくない――ディンキン図形の添え字をリー環の添え字と混同してはいけない。例えば、B4 は s o 2 ⋅ 4 + 1 = s o 9 {\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9}} に対応し、これは自然に9次元空間に作用するが、リー環としてはランク 4 をもつ。 Simply laced ディンキン図形は、多重辺を持たないもの (A, D, E) であり、さらに多くの数学的対象を分類する；ADE分類（英語版）の議論を参照。
※この「関連した分類」の解説は、「ディンキン図形」の解説の一部です。
「関連した分類」を含む「ディンキン図形」の記事については、「ディンキン図形」の概要を参照ください。
- 関連した分類のページへのリンク
