運動群の部分群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/19 07:05 UTC 版)
「ユークリッドの運動群」の記事における「運動群の部分群」の解説
運動群 E(n) の部分群の種類は: 有限群 必ず不動点を持つ。三次元の場合、任意の点において全部で二つある向きの何れについても、包含に関して極大となる有限群 Oh, Ih が存在する。このうち群 Ih は次に挙げる群の中で考えても極大である。 任意に小さい平行移動・回転あるいはそれらの組み合わせを含まない可算無限群 各点においてこの対称変換群の下での像全体の成す集合（最初の点の軌跡）は位相的に離散である。例えば 1 ≤ m ≤ n として互いに独立な方向への m 種類の平行移動で生成される群や有限な点群がそうであり、また格子群もこれに入る。もう少し一般には離散空間群も例として挙げられる。 任意に小さい平行移動・回転あるいはそれらの組み合わせを含む可算無限群 この場合、そのような変換群による像全体の成す集合が閉じていないような点も存在し得る。例えば、一次元の場合に歩み 1 および √2 のふたつの平行移動で生成される群や、二次元の場合は原点中心の 1 ラジアン回転の生成する群などがこれに当たる。 適当な点が存在して、その各等長変換による像全体の成す集合が閉じていないような非可算群 例えば二次元において、一方向への平行移動全体および別な方向への有理数距離平行移動全体。 任意の点に対して各等長変換による像全体の成す集合が閉じている非可算群 n-次元回転群 原点（より一般には任意の一点）を固定する、向きを保つ対称変換全体の成す群。（三次元の場合回転群 SO(3) と呼ばれる）。 直交群 原点（より一般には任意の一点）を固定する対称変換全体の成す群。 E+(n) 向きを保つ変換全体の成す群。 全ユークリッド変換群 E(n) m-次元部分空間において上記の変換群の何れかを考えたものと、残りの (n − m)-次元空間の離散変換群との合成。 m-次元部分空間において上記の変換群の何れかを考えたものと、残りの (n − m)-次元空間において上記の変換群の何れかを考えたものとの合成。
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