三種の分類階層とは? わかりやすく解説

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三種の分類階層

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/04/12 03:22 UTC 版)

空間 (数学)」の記事における「三種の分類階層」の解説

空間分類三つ階層行われる。各数学理論がその対象が持つある種性質によって対象記述されるものとして与えられるとき、最初に問題となるのは「それはどのような性質か」ということである。 例えば、第一階層分類 (upper-level classification) でユークリッド空間射影空間とが区別できる。これはユークリッド空間では二点間の距離を考えることができるが、射影空間では考えることができないことよる。これらの空間は「型」が異なる。 別な例として、「三角形内角の和はいくらか」という問いユークリッド空間では意味を持つが射影空間では意味を持たない故にこれらは型の異なる空間のである一方、この問い非ユークリッド幾何学でも意味を成すが、答え異なる。これは第一階層での区別ではない。 ユークリッド平面三次元ユークリッド空間との区別も、「次元はいくつか」という問い双方で有効であるから、やはり第一階層での区別ではない。 ブルバキによれば第一階層分類は「型による特徴づけ」あるいは「型付け」と関係があるが、それらは同一概念ではない(二つ同値構造異なる型を持ちうる)。 第二階層分類 (second level of classification) では(第一階層準じて意味を成す問いの中で)特に重要な問いに関してその答え勘案するのである。この第二階層区別されるものは例えば、ユークリッド空間非ユークリッド空間有限次元空間無限次元空間コンパクト空間非コンパクト空間などがある。 ブルバキによれば第二階層分類は「種」の分類である。生物学的な分類法とは異なり一つ空間複数の種に属しうる。 第三階層分類 (third level of classification) は、大まかに言えば第一階層準じて意味を成す)問いとして「可能な全て」についての答え勘案するのである例えばこの階層で、次元異なる空間はどれも互いに区別することができるが、二次元ユークリッド平面として扱われる三次元ユークリッド空間内の平面と、やはり二次元ユークリッド平面として扱われる実数の対全体の成す集合とはこの階層区別することはできない同様に、同じ非ユークリッド空間異なユークリッド模型もこの階層区別することはできない。 より厳密に言えば第三階層分類同型を除く分類である。二つ空間の間の同型とは、一方空間の点と他方空間の点との間の一対一対応であって、「型付け」を与えることによって決まる点の間の関係を保存するものとして定義される互いに同型空間一つ空間複製であると考えられ、その一つある種属するならばそれら全てがその種に属する。 同型概念第一階層分類浮き彫りにする。同じ型の二つ空間の間に一対一対応与えられれば、それが同型か否か問題にすることができる。これは型が異なる空間に対しては意味を成さない問いである。 自分自身への同型自己同型呼ばれるユークリッド空間自己同型は、ユークリッドの運動鏡映である。ユークリッド空間は、任意の点を適当な自己同型によって別な任意の点に写せるという意味で等質である。

※この「三種の分類階層」の解説は、「空間 (数学)」の解説の一部です。
「三種の分類階層」を含む「空間 (数学)」の記事については、「空間 (数学)」の概要を参照ください。

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