フェルミ粒子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/30 08:58 UTC 版)
量子論的なフェルミ粒子の系は、ディラック場 ψ で記述される。質量が m の自由なフェルミ粒子の運動項は S ψ [ ψ ] = ∫ [ i ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ ( x ) − m ψ ¯ ψ ( x ) ] d 4 x {\displaystyle S_{\psi }[\psi ]=\int \left[i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m{\bar {\psi }}\psi (x)\right]\,d^{4}x} で与えられる。ここで γ はガンマ行列である。 フェルミ粒子と電磁場との相互作用は、ゲージ理論に基づいて、微分を共変微分へ置き換える最小結合の理論で記述される。従って、フェルミ粒子の運動項と相互作用項は S ψ [ ψ ] + S int [ ψ , A ] = ∫ [ i ψ ¯ γ μ ( ∂ μ − i e A μ Q ) ψ ( x ) − m ψ ¯ ψ ( x ) ] d 4 x {\displaystyle S_{\psi }[\psi ]+S_{\text{int}}[\psi ,A]=\int \left[i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }-ieA_{\mu }Q)\psi (x)-m{\bar {\psi }}\psi (x)\right]\,d^{4}x} の形となる。ここで e は電磁相互作用の結合定数である電気素量である。また、Q はディラック場 ψ の U(1)em の下での変換性を表すチャージである。 従って相互作用項は S int [ ψ , A ] = e ∫ ψ ¯ Q γ μ ψ ( x ) A μ ( x ) d 4 x {\displaystyle S_{\text{int}}[\psi ,A]=e\int {\bar {\psi }}Q\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)\,d^{4}x} であり、4元電流密度は j μ ( x ) = e ψ ¯ Q γ μ ψ ( x ) {\displaystyle j^{\mu }(x)=e{\bar {\psi }}Q\gamma ^{\mu }\psi (x)} となる。 「量子電磁力学」も参照
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フェルミ粒子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 05:32 UTC 版)
フェルミ粒子の場合、次のような反対称化演算子 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} によって多体波動関数が反対称化される。 Ψ F ( r 1 , r 2 , … , r N ) = N A Ψ ( r 1 , r 2 , … , r N ) = N ∑ π ∈ S N ( − 1 ) π ψ α 1 ( r π ( 1 ) ) ψ α 2 ( r π ( 2 ) ) … ψ α N ( r π ( N ) ) {\displaystyle \Psi _{F}({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi ({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{1}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (1)})\psi _{\alpha _{2}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (2)})\dots \psi _{\alpha _{N}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (N)})} これは ψ α j ( r i ) {\displaystyle \psi _{\alpha _{j}}({\boldsymbol {r}}_{i})} をi 行j 列行列要素にもつN×N行列 U {\displaystyle U} の行列式 Ψ F = N det U {\displaystyle \Psi _{F}={\mathcal {N}}\operatorname {det} U} であり、スレーター行列式と呼ばれる。
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