自由なフェルミ粒子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/03/20 03:10 UTC 版)
「ツィッターベヴェーグンク」の記事における「自由なフェルミ粒子」の解説
時間に依存するディラック方程式は H ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ∂ t ( x , t ) {\displaystyle H\psi ({\boldsymbol {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\boldsymbol {x}},t)} , と書くことができる。上式において、 ℏ {\displaystyle \hbar } は換算プランク定数、 ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}},t)} はフェルミ粒子(スピン1/2)の波動関数(双スピノル(英語版))、Hは自由粒子のディラックハミルトニアン H = β m c 2 + ∑ j = 1 3 α j p j c {\displaystyle H=\beta mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}c} である( m {\textstyle m} は粒子の質量、 c {\textstyle c} は光速、 p j {\textstyle p_{j}} は運動量演算子、 β {\displaystyle \beta } および α {\displaystyle \alpha } はガンマ行列 γ μ {\textstyle \gamma _{\mu }} に関連した行列; β = γ 0 {\textstyle \beta =\gamma _{0}} , α j = γ 0 γ j {\textstyle \alpha _{j}=\gamma _{0}\gamma _{j}} )。 ハイゼンベルク描像では、任意のオブザーバブルQの時間依存性は方程式 − i ℏ ∂ Q ∂ t = [ H , Q ] {\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial Q}{\partial t}}=\left[H,Q\right]} に従う。具体的には、位置演算子の時間依存性は ℏ ∂ x k ( t ) ∂ t = i [ H , x k ] = ℏ c α k {\displaystyle \hbar {\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,x_{k}\right]=\hbar c\alpha _{k}} によって与えられる。ここで、xk(t)は時間tにおける位置演算子である。 上記の方程式は、演算子αkが「速度演算子」のk番目の成分として解釈できることを示している。αkに速度依存性を追加するため、ハイゼンベルク描像を実践すると、 α k ( t ) = e i H t ℏ α k e − i H t ℏ {\displaystyle \alpha _{k}(t)=e^{\frac {iHt}{\hbar }}\alpha _{k}e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}} となる。 速度演算子の時間依存性は ℏ ∂ α k ( t ) ∂ t = i [ H , α k ] = 2 ( i γ k m − σ k l p l ) = 2 i ( p k − α k H ) {\displaystyle \hbar {\frac {\partial \alpha _{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2\left(i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}\right)=2i\left(p_{k}-\alpha _{k}H\right)} によって与えらえる。上式において σ k l ≡ i 2 [ γ k , γ l ] {\displaystyle \sigma _{kl}\equiv {\frac {i}{2}}\left[\gamma _{k},\gamma _{l}\right]} である。 さて、pk とHは両方とも時間依存的であるため、上記の方程式は位置演算子の陽な時間依存性を見つけるために容易に2回積分することできる。 まず、 α k ( t ) = ( α k ( 0 ) − c p k H − 1 ) e − 2 i H t ℏ + c p k H − 1 {\displaystyle \alpha _{k}(t)=\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}+cp_{k}H^{-1}} そして、 x k ( t ) = x k ( 0 ) + c 2 p k H − 1 t + 1 2 i ℏ c H − 1 ( α k ( 0 ) − c p k H − 1 ) ( e − 2 i H t ℏ − 1 ) {\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)\left(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}-1\right)} となる。 得られた式は、初期位置、時間に比例した運動、コンプトン波長に等しい振幅を持つ振動項からなる。振動項がいわゆるツィッターベヴェーグンクである。
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