フェルミ粒子の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/07 21:32 UTC 版)
以下の反交換関係を満たす生成消滅演算子を定義する。 { c ^ , c ^ † } = 1 {\displaystyle \{{\hat {c}},{\hat {c}}^{\dagger }\}=1} { c ^ , c ^ } = { c ^ † , c ^ † } = 0 {\displaystyle \{{\hat {c}},{\hat {c}}\}=\{{\hat {c}}^{\dagger },{\hat {c}}^{\dagger }\}=0} また数演算子とよばれるエルミート演算子を以下で定義する。 N ^ ≡ c ^ † c ^ {\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {c}}^{\dagger }{\hat {c}}} この固有値方程式は、 N ^ | n ⟩ = n | n ⟩ {\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle } 真空状態を以下で定義する。 c ^ | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle {\hat {c}}|0\rangle =0} 真空状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } に生成演算子をくり返し作用させると、 { c ^ † , c ^ † } = 2 ( c ^ † ) 2 = 0 {\displaystyle \{{\hat {c}}^{\dagger },{\hat {c}}^{\dagger }\}=2({\hat {c}}^{\dagger })^{2}=0} より、 c ^ † | 0 ⟩ = | 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {c}}^{\dagger }|0\rangle =|1\rangle } ( c ^ † ) 2 | 0 ⟩ = c ^ † | 1 ⟩ = 0 {\displaystyle ({\hat {c}}^{\dagger })^{2}|0\rangle ={\hat {c}}^{\dagger }|1\rangle =0} つまり最大占有数は1で、1個以上のフェルミ粒子は同じ状態を占有できない。 逆に | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } にくり返し消滅演算子を作用させると、 { c ^ , c ^ } = 2 ( c ^ ) 2 = 0 {\displaystyle \{{\hat {c}},{\hat {c}}\}=2({\hat {c}})^{2}=0} より c ^ | 1 ⟩ = | 0 ⟩ {\displaystyle {\hat {c}}|1\rangle =|0\rangle } ( c ^ ) 2 | 1 ⟩ = c ^ | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle ({\hat {c}})^{2}|1\rangle ={\hat {c}}|0\rangle =0} つまり粒子数は0以下になれない。この | 0 ⟩ , | 1 ⟩ {\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle } をフェルミ粒子におけるフォック状態と呼ぶ。 ボース粒子の場合と同様に、この場合も粒子的な解釈を行うことができる。ただし粒子の生成は1つまでしかできない。
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フェルミ粒子の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/11 21:52 UTC 版)
「ボゴリューボフ変換」の記事における「フェルミ粒子の場合」の解説
2種類のフェルミ粒子の生成消滅演算子を考える。この場合のユニタリー演算子は、簡単のために位相を ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} とすると、 U θ = exp ( θ G ϕ ) = exp [ θ ( b ^ 1 b ^ 2 − b ^ 2 † b ^ 1 † ) ] {\displaystyle U_{\theta }=\exp(\theta G_{\phi })=\exp[\theta ({\hat {b}}_{1}{\hat {b}}_{2}-{\hat {b}}_{2}^{\dagger }{\hat {b}}_{1}^{\dagger })]} ボゴリューボフ変換は、 ( b ^ 1 , new b ^ 2 , new † ) ≡ U θ ( b ^ 1 b ^ 2 † ) U θ † = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( b ^ 1 b ^ 2 † ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\hat {b}}_{1,{\text{new}}}\\{\hat {b}}_{2,{\text{new}}}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}\equiv U_{\theta }{\begin{pmatrix}{\hat {b}}_{1}\\{\hat {b}}_{2}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}U_{\theta }^{\dagger }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {b}}_{1}\\{\hat {b}}_{2}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}} この行列の行列式が1であること（ cos 2 θ + sin 2 θ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1} ）から、 U θ {\displaystyle U_{\theta }} がユニタリー演算子であることがわかり、また新しい生成消滅演算子がフェルミ粒子の交換関係を満たすことが保障される。 ボース粒子の場合と同様にハミルトニアンをユニタリー変換でき、ボゴリューボフ変換された基底状態 | θ ⟩ = U θ | 0 ⟩ {\displaystyle |\theta \rangle =U_{\theta }|0\rangle } は、以下を満たす。 b ^ i , n e w | θ ⟩ = U θ b ^ i U θ † | θ ⟩ = 0 {\displaystyle {\hat {b}}_{i,new}|\theta \rangle =U_{\theta }{\hat {b}}_{i}U_{\theta }^{\dagger }|\theta \rangle =0} この基底状態をフォック状態を使って具体的に表すと、 | θ ⟩ = cos θ exp ( b ^ 1 † b ^ 2 † tan θ ) | 0 ⟩ = cos θ | 0 ⟩ + sin θ | 1 ⟩ 1 ⊗ | 1 ⟩ 2 {\displaystyle |\theta \rangle =\cos \theta \exp({\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}^{\dagger }\tan \theta )|0\rangle =\cos \theta |0\rangle +\sin \theta |1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}} ボース粒子のときと同様に粒子対が生成されているが、パウリの排他原理のため１つの粒子対しか生成されていない。
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