2つのモードの場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/07 21:32 UTC 版)
合成した固有状態に交換演算子 P ^ {\displaystyle {\hat {P}}} が作用すると、ボース粒子の場合は対称的、フェルミ粒子の場合は反対称的になければならない。 たとえばテンソル積表現での2粒子系においては次のようになる。 P ^ | x 1 , x 2 ⟩ = | x 2 , x 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle } 2つの同種粒子のフォック状態 | 1 1 , 1 2 ⟩ {\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle } について、次の不可弁別性が成り立つ。よって ボース粒子では | 1 1 , 1 2 ⟩ = + | 1 2 , 1 1 ⟩ {\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =+|1_{2},1_{1}\rangle } フェルミ粒子では | 1 1 , 1 2 ⟩ = − | 1 2 , 1 1 ⟩ {\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =-|1_{2},1_{1}\rangle } となる:191。 証明任意の終状態 | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } 、演算子 O ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {O} }}} とすると、 | ⟨ f | O ^ | 1 1 , 1 2 ⟩ | 2 = | ⟨ f | O ^ | 1 2 , 1 1 ⟩ | 2 {\displaystyle \left|\langle f|{\hat {\mathbb {O} }}|1_{1},1_{2}\rangle \right|^{2}=\left|\langle f|{\hat {\mathbb {O} }}|1_{2},1_{1}\rangle \right|^{2}} よって、 ⟨ f | O ^ | 1 1 , 1 2 ⟩ = e i δ ⟨ f | O ^ | 1 2 , 1 1 ⟩ {\displaystyle \langle f|{\hat {\mathbb {O} }}|1_{1},1_{2}\rangle =e^{i\delta }\langle f|{\hat {\mathbb {O} }}|1_{2},1_{1}\rangle } であり、 ボース粒子のときは e i δ = + 1 {\displaystyle e^{i\delta }=+1} フェルミ粒子のときは e i δ = − 1 {\displaystyle e^{i\delta }=-1} である。 ⟨ f | {\displaystyle \langle f|} と O ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {O} }}} は任意であるため、 ボース粒子では | 1 1 , 1 2 ⟩ = + | 1 2 , 1 1 ⟩ {\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =+|1_{2},1_{1}\rangle } フェルミ粒子では | 1 1 , 1 2 ⟩ = − | 1 2 , 1 1 ⟩ {\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =-|1_{2},1_{1}\rangle } となる。 ここで数演算子は、ボース粒子とフェルミ粒子を区別せずに（つまり対称性を考慮せずに）粒子を数えるだけの演算子であることに注意。この２種類の粒子の差を見るには、生成消滅演算子が必要となる。 このように複数の同種モードがある場合、ボース粒子のフォック状態は対称性を、フェルミ粒子のフォック状態は反対称性を持たなければならない。これらの性質を満たすため、以下で述べるように、多重モードのフォック状態をテンソル積を用いて構成する。テンソル積は、粒子がフェルミ粒子かボース粒子かによって、基となる1粒子ヒルベルト空間の交代積または対称積でなければならない。
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