ボース粒子の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/07 21:32 UTC 版)
「調和振動子」、「生成消滅演算子」、および「数演算子」も参照 最も単純な１つのモードのボース粒子フォック状態を考える（ここで考えている状態を1粒子状態と呼ぶこともあるが、この状態を多粒子状態と考えることもできるため（後述）、ここでは単にモードと呼ぶことにする）。これはエネルギー的には１つの調和振動子と等価である。 以下の交換関係を満たす生成消滅演算子を定義する。 [ b ^ , b ^ † ] = 1 {\displaystyle [{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1} 数演算子とよばれるエルミート演算子を以下で定義する。 N ^ ≡ b ^ † b ^ {\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}} この固有値方程式は、 N ^ | n ⟩ = n | n ⟩ {\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle } この固有値 N {\displaystyle N} は非負の整数である。また、この固有ベクトル | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } に生成消滅演算子が作用すると、 b ^ † | n ⟩ = n + 1 | n + 1 ⟩ , b ^ | n ⟩ = n | n − 1 ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {b}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle ,\\{\hat {b}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle \end{aligned}}} また固有値0の場合の固有状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } を真空状態と呼び、これに消滅演算子が作用すると次のようになる。 b ^ | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle {\hat {b}}|0\rangle =0} 数演算子の固有状態は、真空状態から生成演算子をくり返し作用することで作ることができる。これをボース粒子におけるフォック状態と呼ぶ。 | n ⟩ = 1 n ! ( b ^ † ) n | 0 ⟩ {\displaystyle |n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}({\hat {b}}^{\dagger })^{n}|0\rangle } 調和振動子では、数演算子とハミルトニアンは互いに交換する。 H ^ = ℏ ω ( N ^ + 1 2 ) {\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)} [ N ^ , H ^ ] = 0 {\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {H}}]=0} よってフォック状態 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } は調和振動子のハミルトニアンの固有状態: | ψ n ⟩ {\displaystyle |\psi _{n}\rangle } でもある（同時固有状態）。 H ^ | n ⟩ = ℏ ω ( n + 1 2 ) | n ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle } つまり状態 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } における粒子数とエネルギーの測定値には量子的なバラつき（ゆらぎ）は無い。
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