ボース粒子の場合とは? わかりやすく解説

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ボース粒子の場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/08/07 21:32 UTC 版)

フォック状態」の記事における「ボース粒子の場合」の解説

調和振動子」、「生成消滅演算子」、および「数演算子」も参照 最も単純な1つモードボース粒子フォック状態考える(ここで考えている状態を1粒子態と呼ぶこともあるが、この状態を多粒子態と考えることもできるため(後述)、ここでは単にモードと呼ぶことにする)。これはエネルギー的には1つ調和振動子等価である。 以下の交換関係満たす生成消滅演算子定義する。 [ b ^ , b ^ † ] = 1 {\displaystyle [{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1} 数演算子よばれるエルミート演算子を以下で定義する。 N ^ ≡ b ^ † b ^ {\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}} この固有値方程式は、 N ^ | n ⟩ = n | n ⟩ {\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle } この固有値 N {\displaystyle N} は非負の整数である。また、この固有ベクトル | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } に生成消滅演算子作用すると、 b ^ † | n ⟩ = n + 1 | n + 1 ⟩ , b ^ | n ⟩ = n | n − 1 ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {b}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle ,\\{\hat {b}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle \end{aligned}}} また固有値0の場合固有状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } を真空状態呼び、これに消滅演算子作用する次のうになる。 b ^ | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle {\hat {b}}|0\rangle =0} 数演算子固有状態は、真空状態から生成演算子くり返し作用することで作ることができる。これをボース粒子におけるフォック状態と呼ぶ。 | n ⟩ = 1 n ! ( b ^ † ) n | 0 ⟩ {\displaystyle |n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}({\hat {b}}^{\dagger })^{n}|0\rangle } 調和振動子では、数演算子ハミルトニアン互いに交換する。 H ^ = ℏ ω ( N ^ + 1 2 ) {\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)} [ N ^ , H ^ ] = 0 {\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {H}}]=0} よってフォック状態 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } は調和振動子ハミルトニアン固有状態: | ψ n ⟩ {\displaystyle |\psi _{n}\rangle } でもある(同時固有状態)。 H ^ | n ⟩ = ℏ ω ( n + 1 2 ) | n ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle } つまり状態 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } における粒子数とエネルギー測定値には量子的なバラつき(ゆらぎ)は無い。

※この「ボース粒子の場合」の解説は、「フォック状態」の解説の一部です。
「ボース粒子の場合」を含む「フォック状態」の記事については、「フォック状態」の概要を参照ください。

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