2つのベクトル空間に対する構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:48 UTC 版)
「加群の直和」の記事における「2つのベクトル空間に対する構成」の解説
V と W を体 K 上のベクトル空間とする。カルテジアン積 V × W に K 上のベクトル空間の構造を成分ごとに演算を定義することによって与えることができる (Halmos 1974, §18)： v, v1, v2 ∈ V, w, w1, w2 ∈ W, α ∈ K に対して、 (v1, w1) + (v2, w2) = (v1 + v2, w1 + w2) α (v, w) = (α v, α w) 得られるベクトル空間は V と W の直和 (direct sum) と呼ばれ、通常円の中にプラスの記号で表記される： V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} 順序付けられた和の元を順序対 (v, w) ではなく和 v + w として書くのが慣習である。 V ⊕ W の部分空間 V × {0} は V に同型でありしばしば V と同一視される。{0} × W と W に対しても同様。（以下の内部直和を見よ。）この同一視をして、V ⊕ W のすべての元は1つ、そしてただ1つの方法で V の元と W の元の和として書くことができる。V ⊕ W の次元は V と W の次元の和に等しい。 この構成はただちに任意の有限個のベクトル空間に一般化する。
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