スレイター行列式と第二量子化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/09 09:15 UTC 版)
「スレイター行列式」の記事における「スレイター行列式と第二量子化」の解説
第二量子化では、多粒子系の状態を、１粒子状態 ϕ 1 , … , ϕ N {\displaystyle \phi _{1},\dotsc ,\phi _{N}\ } を占めている粒子数の組 n 1 , … , n N {\displaystyle n_{1},\dotsc ,n_{N}\ } で表現する。これを座標表示したものがスレイター行列式である。 ‖ χ 1 ⋯ χ N ‖ ∼ | n 1 , n 2 , … ⟩ {\displaystyle \Vert \chi _{1}\cdots \chi _{N}\Vert \sim |n_{1},n_{2},\dotsc \rangle } フェルミ粒子の場合、 n 1 , … , n N {\displaystyle n_{1},\dotsc ,n_{N}\ } は0か1のどちらかである。ボーズ粒子の場合、 n 1 , … , n N {\displaystyle n_{1},\dotsc ,n_{N}\ } は0からNまでの値をとり得る。 これは生成演算子 a ^ 1 † , … , a ^ N † {\displaystyle {\hat {a}}_{1}^{\dagger },\dotsc ,{\hat {a}}_{N}^{\dagger }} を使って以下のように表される。 ‖ χ 1 ⋯ χ N ‖ ∼ a ^ N † ⋯ a ^ 1 † | ⟩ {\displaystyle \Vert \chi _{1}\cdots \chi _{N}\Vert \sim {\hat {a}}_{N}^{\dagger }\dotsb {\hat {a}}_{1}^{\dagger }|\;\rangle } この形式の利点は、通常の行列式のように煩雑でないため、操作が簡単であるということと、粒子数を簡単に変えられることである。第二量子化された演算子の期待値は、ウィック (Wick) の定理によって比較的簡単に求めることが出来る。 複数スレイター行列式は、単一スレイター行列式に励起演算子 O ^ {\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}} を作用させることで得られる。 O ^ = ∑ n = 0 N ∑ i o c c ∑ j v i r c n i j a ^ j 1 † ⋯ a ^ j n † a ^ i n ⋯ a ^ i 1 {\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}=\sum _{n=0}^{N}\sum _{\boldsymbol {i}}^{\mathrm {occ} }\sum _{\boldsymbol {j}}^{\mathrm {vir} }c_{n{\boldsymbol {ij}}}{\hat {a}}_{j_{1}}^{\dagger }\dotsb {\hat {a}}_{j_{n}}^{\dagger }{\hat {a}}_{i_{n}}\dotsb {\hat {a}}_{i_{1}}}
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