ゾーン多面体と高次元立方体

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ゾーン多面体と高次元立方体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/23 22:43 UTC 版)

「ゾーン多面体」の記事における「ゾーン多面体と高次元立方体」の解説

三次元空間のゾーン多面体は、高次元の立方体を三次元空間に投影して得られる図形のうちの特定のものの外殻と一致する。このことを最初に論じたのは、コクセターの『正多胞体』である。その中で彼は、1934年に敷物商・ドンチャン(Paul S. Donchan) が発表した四次元多胞体の三次元投影模型から着想を得たことを模型の写真とともに紹介している。 またコクセターは、ゾーン多面体のゾーンの数を数えるための実用的な方法は、任意の頂点から反対側の頂点（対蹠点）へ移動するために必要な最小の辺数を数えることであることを示した(1962年)。 ホワイトとコクセターのダイヤグラムでは、ゾーンを直線であらわし、p本の直線が交わる交点は２p角形面を示す。q本の線分及び半直線で仕切られる領域はq価の頂点を表す。そのさい同一直線上にある２つの半直線は１つの線分と同価とみなす。以下の表には、６次までのすべてのゾーン多面体の類型を示し、７次以降は代表的なもののみを示した。 ゾーン多面体投影図辺数平行な辺のグループ数 対応する高次元 立方体の次数 ホワイト・コクセターダイヤグラム 面数頂点数平行六面体124本組×33四角形６枚3価８六角柱184本組×36本組×1 4六角形２枚四角形６枚 3価12菱形十二面体246本組×44四角形１２枚3価８４価６ 八角柱244本組×48本組×1 5八角形２枚四角形８枚 3価１６長菱形十二面体284本組×16本組×4 5六角形４枚四角形８枚 3価１６4価２ 菱形二十面体408本組×55四角形２０枚3価１０4価１０ 5価２ 菱形十二面四・六角柱346本組×38本組×2 5六角形２枚四角形１４枚 3価１２4価８ 十角柱304本組×510本組×1 6十角形２枚四角形１０枚 3価２０菱形十二面八・六角柱384本組×16本組×3 8本組×2 6八角形２枚六角形２枚 四角形１２枚 3価２０4価４ 菱形十六面八・四角柱446本組×410本組×2 6八角形２枚四角形１８枚 3価１６4価１０ 菱形十八面六・六角柱488本組×66六角形４枚四角形１８枚 3価１６4価１２ 菱形二十四面六角柱548本組×310本組×3 6六角形２枚四角形２４枚 3価１８4価６ 5価６ 切頂八面体366本組×66六角形８枚四角形６枚 3価２４極菱形三十面体6010本組×66四角形３０枚3価１２4価１８ ６価２ ホワイト菱形三十面体Ｂ6010本組×66四角形３０枚3価１２4価１６ 5価４ ホワイト菱形三十面体C6010本組×66四角形３０枚3価１４4価１２ 5価６ 菱形三十面体6010本組×66四角形３０枚3価２０5価１２ 長菱形三十面体728本組×110本組×4 12本組×2 7六角形４枚四角形３０枚 3価２４4価８ 5価８ 切稜立方体486本組×48本組×3 7六角形１２枚四角形６枚 3価３２長切稜立方体606本組×28本組×6 8八角形２枚六角形１２枚 四角形８枚 ３価４０長々菱形三十面体848本組×210本組×2 12本組×4 8八角形２枚六角形４枚 四角形３２枚 3価２８4価１６ 5価４ 大菱形立方八面体728本組×99八角形６枚六角形８枚 四角形１２枚 ３価４８大菱形四十二面体968本組×312本組×6 9八角形６枚四角形３６枚 3価３２4価２４ 小菱形切頂八面体12012本組×1010六角形２０枚四角形３０枚 3価４８4価２４ 菱形九十面体18018本組×1010四角形９０枚3価６０５価１２ ６価２０ 菱形五十面十二・十二角柱1244本組×112本組×10 11十二角形４枚四角形５０枚 3価４０4価３２ 菱形百二面体21618本組×1212八角形６枚四角形９６枚 3価７２4価２４ ６価２０ 菱形百三十二面体 26422本組×1212 四角形１３２枚３価５６４価４８ ５価２４ ８価６ 3価４８ 4価５４ ５価２４ ６価８ 大菱形切頂八面体15612本組×1313八角形１８枚六角形８枚 四角形３０枚 ３価１０４極菱形百八十二面体36426本組×1314四角形１８２枚3価２８4価１５４ １４価２ 大菱形二十・十二面体18012本組×1515十角形１２枚六角形２０枚 四角形３０枚 ３価１２０大菱形九十面体24010本組×618本組×10 16八角形３０枚四角形６０枚 3価１４０５価１２