ラグランジュの定理 (群論)とは？わかりやすく解説

群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である^[1]^[2]^[3]^[4]。

ラグランジュの定理 ― $G$ を有限群とし、 $H$ を $G$ の部分群とする。このとき $| G | = [G : H] | H |$ が成り立つ。ただし、 $[G : H]$ は $G$ における $H$ の指数である。

定義

部分群による同値関係

群 $G$ の要素 $x, y$ に関して、群 $G$ の部分群 $H$ の要素 $h$ を用いて、 $x = yh$ となるとき、 $x ～ y$ と定義する。 $G$ の単位元を $e$ とすると、 $H$ は部分群だから $e \in H$ であり、 $x = xe$ となるので、 $x ～ x$ である。 $h \in H$ のとき、 $H$ は部分群だから $h -1 \in H$ となるので、 $x ～ y$ のとき、 $x = yh \Leftrightarrow xh -1 = y$ となり $y ～ x$ である。 $x, y, z \in G$ に関して、 $x ～ y, y ～ z$ ならば $x = yh 1, y = zh 2 (h 1, h 2 \in H)$ だから $x = (zh 2) h 1 = z (h 2 h 1)$ となる。 $H$ は部分群なので、 $h 2 h 1 \in H$ となるから $x ～ z$ である。したがって、 $～$ は同値関係になる^[5]^[6]^[7]^[8]。

同値関係による同値類

部分群 $H$ に関して、同値関係 $～$ による同値類 ${x \in G | x ～ a}$ は ${x \in G | x = ah (h \in H)}$ になるから、 $aH$ に等しくなる。これを $a$ の $H$ による左剰余類（left coset）という。同値関係 $～$ による同値類 $aH$ の集合 ${aH | a \in G}$ を $G / H$ と書く^[9]^[6]^[10]。

部分群 $H$ が有限群の場合は $H = {h 1, h 2, h 3, \dots, h m}$ と表すことができて、左剰余類 $aH$ は $aH = {ah 1, ah 2, ah 3, \dots, ah m}$ となる^[2]。

同値類の間の同型写像

部分群 $H$ から同値類 $aH$ への写像 $φ a : H \to aH$ を $φ a (h) = ah$ と定義するとき、 $φ a (h 1) = φ a (h 2)$ とすると、 $ah 1 = ah 2$ となるから、左から $a -1$ を掛けて $h 1 = h 2$ となるので、写像 $φ a$ は単射になる。写像 $φ a$ による部分群 $H$ の像が $aH$ だから写像 $φ a$ は全射になり、全単射になる。したがって、写像 $φ a$ の逆写像 $φ a -1 : aH \to H$ は $φ a -1 (x) = a -1 x$ となる。これより、同値類 $aH$ から同値類 $bH$ への写像 $f : aH \to bH$ を $f (x) = (φ b ⚬ φ a -1)(x) = φ b (φ a -1 (x)) = ba -1 x$ と定義すると写像 $f$ は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 $aH$ と $bH$ は同型となり、 $| aH | = | bH | = | H |$ となる^[9]^[11]。

同値類による指数

左剰余類の集合 $G / H$ の要素の個数（濃度）である $| G/H |$ を $G$ における $H$ の指数（index of a subgroup $H$ in a group $G$ ）と呼び、 $[G : H]$ または $| G : H |$ または $(G : H)$ と書く^[5]^[6]^[12]。

$G / H$ が有限集合の場合は、 $G / H = {a 1 H, a 2 H, a 3 H, \dots, a k H}$ と表すことができて、 $[G : H] = | G / H | = k$ となる。

$G$ が有限群の場合は、以下のように書ける^[2]：

{\begin{aligned}H&=\{h_{1},h_{2},h_{3},\dotsc ,h_{m}\},\\a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\dotsc ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\dotsc ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\dotsc ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\dotsc ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\dotsc ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}

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出典検索^?: "ラグランジュの定理" 群論 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2011年7月）

ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。

脚注

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注釈

^ この事実は1799年にはすでに知られていた^[24]。
^ 可解群に対してはホールの定理も参照のこと。

出典

^ 国吉 & 高橋 2001, 定理2.6.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 星 2016, p. 93.
^ 雪江 2010, 定理2.6.20.
^ Isaacs 2008, p. 331, Theorem X.8(d).
^ ^a ^b 国吉 & 高橋 2001, p. 21.
^ ^a ^b ^c 星 2016, p. 92.
^ 雪江 2010, 例2.6.6.
^ 雪江 2010, 注2.6.17.
^ ^a ^b 国吉 & 高橋 2001, 定理2.5.
^ 雪江 2010, 定義2.6.16.
^ 雪江 2010, 命題2.6.18.
^ 雪江 2010, 定義2.6.19.
^ #同値関係による同値類を参照。
^ #同値類の間の同型写像を参照。
^ #同値類による指数を参照。
^ Joh. “指数の定理”. 物理のかぎしっぽ. 2020年9月21日閲覧。
^ Bray, Nicolas, Lagrange's Group Theorem, MathWorld
^ Joh. “ラグランジェの定理”. 物理のかぎしっぽ. 2020年9月21日閲覧。
^ ^a ^b 雪江 2010, 系2.6.21.
^ Isaacs 2008, p. 332, Corollary X.9.
^ 国吉 & 高橋 2001, 定理2.7.
^ 雪江 2010, 命題2.6.22.
^ 雪江 2010, 定理2.6.23.
^ Gallian 1993, p. 23.
^ Isaacs 2008, p. 9.
^ Isaacs 2008, p. 24, Corollary 1.25.

参考文献

赤堀庸子「いわゆる「ラグランジュの定理」について」（PDF）『津田塾大学数学・計算機科学研究所報第12回数学史シンポジウム(2001.10.20〜21)』第23号、津田塾大学数学・計算機科学研究所、2002年、133-143頁。
国吉秀夫『群論入門』高橋豊文改訂（新訂版）、サイエンス社〈サイエンスライブラリ理工系の数学 8〉、2001年5月10日。ISBN 978-4-7819-0978-3。
星明考『群論序説』日本評論社、2016年3月25日。ISBN 978-4-535-78809-1。
雪江明彦『代数学　1　群論入門』日本評論社、2010年11月25日。ISBN 978-4-535-78659-2。
Gallian, Joseph A. (1993), “On the converse of Lagrange's theorem”, Math. Mag. 66 (1): 23, doi:10.2307/2690467, MR1572926, Zbl 0796.20019, http://www.jstor.org/stable/2690467
Isaacs, I. Martin (2008), Finite Group Theory, Graduate Studies in Mathematics, 92, AMS, doi:10.1090/gsm/092, ISBN 978-0-8218-4344-4, MR2426855, Zbl 1169.20001

外部リンク

ラグランジェの定理 - 物理のかぎしっぽ
2013 年度前期離散数学講義資料(9): 群 (PDF)
Bray, Nicolas. "Lagrange's Group Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).

動画

[25] この事実は1799年にはすでに知られていた^[24]。

[27] 可解群に対してはホールの定理も参照のこと。

[FOOTNOTE国吉高橋2001定理2.6-1] 国吉 & 高橋 2001, 定理2.6.

[FOOTNOTE星201693-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 星 2016, p. 93.

[FOOTNOTE雪江2010定理2.6.20-3] 雪江 2010, 定理2.6.20.

[FOOTNOTEIsaacs2008331Theorem_X.8(d)-4] Isaacs 2008, p. 331, Theorem X.8(d).

[FOOTNOTE国吉高橋200121-5] 国吉 & 高橋 2001, p. 21.

[FOOTNOTE星201692-6] 星 2016, p. 92.

[FOOTNOTE雪江2010例2.6.6-7] 雪江 2010, 例2.6.6.

[FOOTNOTE雪江2010注2.6.17-8] 雪江 2010, 注2.6.17.

[FOOTNOTE国吉高橋2001定理2.5-9] 国吉 & 高橋 2001, 定理2.5.

[FOOTNOTE雪江2010定義2.6.16-10] 雪江 2010, 定義2.6.16.

[FOOTNOTE雪江2010命題2.6.18-11] 雪江 2010, 命題2.6.18.

[FOOTNOTE雪江2010定義2.6.19-12] 雪江 2010, 定義2.6.19.

[13] #同値関係による同値類を参照。

[14] #同値類の間の同型写像を参照。

[15] #同値類による指数を参照。

[16] Joh. “指数の定理”. 物理のかぎしっぽ. 2020年9月21日閲覧。

[17] Bray, Nicolas, Lagrange's Group Theorem, MathWorld

[18] Joh. “ラグランジェの定理”. 物理のかぎしっぽ. 2020年9月21日閲覧。

[FOOTNOTE雪江2010系2.6.21-19] 雪江 2010, 系2.6.21.

[FOOTNOTEIsaacs2008332Corollary_X.9-20] Isaacs 2008, p. 332, Corollary X.9.

[FOOTNOTE国吉高橋2001定理2.7-21] 国吉 & 高橋 2001, 定理2.7.

[FOOTNOTE雪江2010命題2.6.22-22] 雪江 2010, 命題2.6.22.

[FOOTNOTE雪江2010定理2.6.23-23] 雪江 2010, 定理2.6.23.

[FOOTNOTEGallian199323-24] Gallian 1993, p. 23.

[FOOTNOTEIsaacs20089-26] Isaacs 2008, p. 9.

[FOOTNOTEIsaacs200824Corollary_1.25-28] Isaacs 2008, p. 24, Corollary 1.25.

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