Change of basis

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基底変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/12/14 05:55 UTC 版)

あるベクトル（紫の矢印）の基底集合の線型結合によって新たなベクトル（赤の矢印）が得られる。もしも線型独立であるなら、それらは新たな基底集合を構成する。初めの基底集合を新たな基底集合へ関連付ける線型結合は線型変換へと拡張され、これが基底変換と呼ばれる。

一つのベクトルが二つの異なる基底集合（紫と赤の矢印）によって表現される。

線型代数学において、ある次元 n のベクトル空間に対する基底は、n 個のベクトル α₁, ..., α_n の列で、その空間内のすべてのベクトルがそれら基底ベクトルの線型結合として一意的に表現されるという性質が成り立つ。作用素の行列表示も、同様にその選ばれた基底によって一意的に決定される。しばしば一つのベクトル空間に対して、複数の基底について考えることが望ましいことがあり、したがって線型代数学における本質的に重要な概念として、ある一つの基底に対するベクトルと作用素の座標に関する表現を、他の基底に対する同値な表現へと簡単に変換する、というものが存在する。そのような変換のことを基底変換（きていへんかん、英: change of basis）と呼ぶ。

以下ではベクトル空間の語を用い、記号 R は実数の体を意味するために用いられるが、そこで議論される結果は R が可換環であり「ベクトル空間」が「自由R-加群に置き換えられた場合にも成立する。

記号の準備

Rⁿ に対する標準基底は {e₁, ..., e_n} で与えられる。ここで e_j は j 番目の成分が 1 でその他の成分が 0 であるような Rⁿ の元である。

T : Rⁿ → R^m を線型変換としたとき、T の m × n 行列とは、j = 1, ..., n に対して第 j 列が T(e_j) であるような行列 t のことを言う。このとき、Rⁿ 内のすべての x に対して T(x) = tx が成立する。ただし、x はある列ベクトルと見なし、右側からの乗算は行列乗算である。線型代数学における基本的な事実として、Rⁿ から R^m へのすべての線型変換からなるベクトル空間 Hom(Rⁿ, R^m) は、R 上の m × n 行列の空間 R^{m × n} への自然な同型である、という事実がある。すなわち、線型変換 T : Rⁿ → R^m はすべての意志や目的に対して、行列 t と同値である。

さらに以下の簡単な結果を利用する。

定理 V と W をベクトル空間とし、{α₁, ..., α_n} を V に対する基底とし、{γ₁, ..., γ_n} を W 内の任意の n 個のベクトルとする。このとき、j = 1, ..., n に対して T(α_j) = γ_j を満たすような線型変換 T : V → W が唯一つ存在する。

この唯一つの T は T(x₁α₁ + ... + x_nα_n) = x₁γ₁ + ... + x_nγ_n で定義される。もちろん、{γ₁, ..., γ_n} が W の基底であるなら、T は線型であると同時に全単射である。言いかえると、T は同型である。このとき W = V も同様に成り立つなら、T は自己同型と言われる。

今 V を R 上のベクトル空間とし、{α₁, ..., α_n} を V に対する基底であると仮定する。定義により、ξ が V 内のベクトルであるなら、ξ = x₁α₁ + ... + x_nα_n となるような唯一つのスカラーの組み合わせ x₁, ..., x_n を R 内より選ぶことが出来る。この組み合わせは、順序付けられた基底 {α₁, ..., α_n} に対する ξ の座標と呼ばれる。Rⁿ 内のそのベクトル x = (x₁, ..., x_n) は ξ の（この基底に対する）座標タプルと呼ばれる。j = 1, ..., n に対して φ(e_j) = α_j を満たすような唯一つの線型写像 φ : Rⁿ → V は、V および基底 {α₁, ..., α_n} に対する座標同型（coordinate isomorphism）と呼ばれる。したがって φ(x) = ξ であるための必要十分条件は、ξ = x₁α₁ + ... + x_nα_n である。

ベクトルの集合の行列

ベクトルの集合は、各列がその集合の各ベクトルの成分で与えられるような一つの行列として表現することが出来る。基底はベクトルの集合であるため、基底はこの種の行列によって与えられる。以下では、空間の任意の物体の基底変換は、この行列と関係していることが示される。例えば、ベクトルはその逆によって変換される（そしてそれらはしたがって反変オブジェクトと呼ばれる）。

ベクトルの座標変換

はじめに、ベクトル空間 V において、異なる基底を選んだときにあるベクトル ξ の座標がどのように変化するかという問題に取り組む。

二次元

その空間の新しい基底のベクトルが各列であるような行列 M（新しい基底行列）が与えられたとき、ある列ベクトル v の新しい座標は行列の積 M^-1.v で与えられる。このため、正規ベクトルは反変オブジェクトと呼ばれる。

ベクトルの任意の有限集合は、その列が与えられたベクトルの座標であるようなある行列によって表現される。次元が 2 の場合の一例として、標準基底を反時計回りに 45 度回転させることで得られるベクトルのペアが考えられる。それらのベクトルの座標が各列であるような行列は、

$M={\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$

• ドイツ

Weblio日本語例文用例辞書

「Change of basis」の例文・使い方・用例・文例

• Microsoftがβ版をランチするのは「NetShow streaming server」で動画や音声をオンデマンドで提供する。
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 an admiral of the fleet 海軍元帥.
• 篏入的 r 音 《英音の India office /ndiərfɪs/の /r/の音》.
• ＝《口語》 These kind of stamps are rare. この種の[こういう]切手は珍しい.
• (英国の)運輸省. the Ministry of Education(, Science and Culture) (日本の)文部省.
• は of の誤植です.
• を off と誤植する.
• あいまい母音 《about, sofa などの /ə/》.
• 副詞的小詞 《on, in, out, over, off など》.
• 迂言的属格 《語尾変化によらず前置詞によって示す属格; たとえば Caesar's の代わりの of Caesar など》.
• çon of garlic [humor]. それにはガーリック[ユーモア]がちょっぴり必要だ.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Speaker of the House of Commons 下院議長.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Committee of Ways and Means 歳入委員会.
• 初めて読んだ英文小説は“The Vicar of Wakefield”
• （違法罪―a sin of commission―に対する）怠惰罪
• 『each』、『every』、『either』、『neither』、『none』が分配的、つまり集団の中の1つのものを指すのに対し、『which of the men』の『which』は分離的である
• 『hot off the press（最新情報）』は『hot（最新の）』の拡張感覚を示している
• 『Each made a list of the books that had influenced him』における制限節は、リストに載った本を制限節で定義された特定の本だけに制限する
• 臨床的鬱病を治療するのに用いられる三環系抗鬱薬（商品名ImavateとTofranil）
• 『sunshine-roof』は『sunroof（サンルーフ）』に対する英国の用語である