電磁気学的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/17 10:13 UTC 版)
微粒子が光の波長よりも顕著に小さいとき、レイリー散乱の条件を満たす。微粒子は電場における点双極子とみなし、微粒子にはローレンツ力が加わる。 F = q ( E + d x d t × B ) . {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=q\left({\boldsymbol {E}}+{\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\times {\boldsymbol {B}}\right).} 双極子にかかる力は電場に2電荷を代入することによって算出できる。双極子の分極はp = q d となり、ここでd は2電荷の距離を指す。点双極子において、差 dx は無限小をとる。2電荷が反対の符号を持っていることを考慮すると、力は次のようになる。 F = q ( E 1 ( x , y , z ) − E 2 ( x , y , z ) + d x d t × B ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=q\left({\boldsymbol {E}}_{1}\left(x,y,z\right)-{\boldsymbol {E}}_{2}\left(x,y,z\right)+{\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\times {\boldsymbol {B}}\right)} F = q ( E 1 ( x , y , z ) + d x ⋅ ∇ E − E 1 ( x , y , z ) + d x d t × B ) . {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=q\left({\boldsymbol {E}}_{1}\left(x,y,z\right)+d{\boldsymbol {x}}\cdot \nabla {\boldsymbol {E}}-{\boldsymbol {E}}_{1}\left(x,y,z\right)+{\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\times {\boldsymbol {B}}\right).} 注意すべきことは、E1 は相殺されることである。電荷q をかけると、微小変位dx を分極p に変換することができる。 F = ( p ⋅ ∇ ) E + d p d t × B {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=\left({\boldsymbol {p}}\cdot \nabla \right){\boldsymbol {E}}+{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}\times {\boldsymbol {B}}} F = α [ ( E ⋅ ∇ ) E + d E d t × B ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=\alpha \left[\left({\boldsymbol {E}}\cdot \nabla \right){\boldsymbol {E}}+{\frac {d{\boldsymbol {E}}}{dt}}\times {\boldsymbol {B}}\right]} ここで、第二等式中の誘電体微粒子が線形（つまり p = αE）であるとして計算する。最後に、下記の二つの等式(1) ベクトル演算 (2)ファラデーの電磁誘導の法則を用いる。 ( E ⋅ ∇ ) E = ∇ ( 1 2 E 2 ) − E × ( ∇ × E ) {\displaystyle \left({\boldsymbol {E}}\cdot \nabla \right){\boldsymbol {E}}=\nabla \left({\frac {1}{2}}E^{2}\right)-{\boldsymbol {E}}\times \left(\nabla \times {\boldsymbol {E}}\right)} ∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}} ベクトル演算、および電磁誘導の法則に従った演算を考慮して式をまとめると F = α [ 1 2 ∇ E 2 − E × ( ∇ × E ) + d E d t × B ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=\alpha \left[{\frac {1}{2}}\nabla E^{2}-{\boldsymbol {E}}\times \left(\nabla \times {\boldsymbol {E}}\right)+{\frac {d{\boldsymbol {E}}}{dt}}\times {\boldsymbol {B}}\right]} F = α [ 1 2 ∇ E 2 − E × ( − d B d t ) + d E d t × B ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=\alpha \left[{\frac {1}{2}}\nabla E^{2}-{\boldsymbol {E}}\times \left(-{\frac {d{\boldsymbol {B}}}{dt}}\right)+{\frac {d{\boldsymbol {E}}}{dt}}\times {\boldsymbol {B}}\right]} F = α [ 1 2 ∇ E 2 + d d t ( E × B ) ] . {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=\alpha \left[{\frac {1}{2}}\nabla E^{2}+{\frac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}\right)\right].} 最後の等式の第二項は、ポインティング・ベクトル（単位面積を通り過ぎる光のパワー）に定数をかけた量の時間微分である。レーザー光のパワーはレーザー光の電場の振動数〜1013 Hzよりも十分低い周波数では一定なので、時間微分の項は平均すると0になり、力は以下のように算出される。 F = 1 2 α ∇ E 2 . {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {1}{2}}\alpha \nabla E^{2}.} 電場強度の二乗は、その場におけるレーザー光の強度と比例する。よって、この結果は、誘電体微粒子を点双極子として扱うと、それに働く力はレーザー光の強度の勾配に比例することを示している。言い換えると、この「勾配力」は、光がもっとも強い位置に微粒子を引きつける。実際には、勾配力に抗して「散乱力」が光軸方向に働き、結果的に微粒子の平衡位置は光がもっとも強い位置よりもわずかに下流になる。
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