証明1
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/13 02:59 UTC 版)
ABに平行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似から | B D D C | = | B F C K | , | A E E C | = | A F C K | {\displaystyle \left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {BF}{CK}}\right|,\quad \left|{\frac {AE}{EC}}\right|=\left|{\frac {AF}{CK}}\right|} が成り立つ。左式のCKを右式に代入、もしくは逆に右式を左式に代入し、整理すれば定理が導かれる。
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証明1
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/26 08:33 UTC 版)
1 < r {\displaystyle 1<r} 、 s = r r − 1 {\displaystyle s={r \over r-1}} とする。まず、自然数jとkを用い、jrとksに注目して、両方の集合に属する自然数が存在しないことを背理法を用いて証明する。もしも両方の集合に属する自然数が存在する場合、あるjとkについて、jr=ksが成立する。両辺をkrで割ると、j/k=r/sであり、左辺はjとkが自然数であるため明らかに有理数である。一方、右辺のr/sは r s = r r r − 1 = r − 1 {\displaystyle {r \over s}={r \over {r \over r-1}}=r-1} であり、rは無理数であるためr-1も無理数となる。よって矛盾が生じるため、両方の集合に属する自然数は存在しない。 次に、j/rまたはk/sで表現可能な数を小さい順に並べた数列を考える。1/rからj/rのj個の無理数が存在し、j/r以下のk/sが ⌊ j s r ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {js \over r}\right\rfloor } 個存在する。そのため、数列内のj/rの位置はj+ ⌊ j s r ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {js \over r}\right\rfloor } であり、 1 r + 1 s = 1 {\displaystyle {1 \over r}+{1 \over s}=1} より j + ⌊ j s / r ⌋ = j + ⌊ j ( s − 1 ) ⌋ = ⌊ j s ⌋ {\displaystyle j+\lfloor js/r\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor } である。同様に、k/sは ⌊ k r ⌋ {\displaystyle \lfloor kr\rfloor } 番目に位置する。 ⌊ n r ⌋ {\displaystyle \lfloor nr\rfloor } でも ⌊ n s ⌋ {\displaystyle \lfloor ns\rfloor } でも表せない正の整数cがあると仮定すると、j/rまたはk/sで表現可能な数のc番目の要素が数列の中の ⌊ j s ⌋ {\displaystyle \lfloor js\rfloor } または ⌊ k r ⌋ {\displaystyle \lfloor kr\rfloor } 番目に位置することと矛盾するため、正の整数は必ずどちらか一方には含まれる。 したがって、全ての正の整数は、 B r {\displaystyle B_{r}} または B s {\displaystyle B_{s}} のどちらかに含まれ、両方に含まれることはない。また逆も成り立ち、2つの実数rとsについて同様の処理によって2つの集合を考えた時、全ての正の整数がどちらか一方にのみ含まれているならば、rとsは無理数であり、逆数の和は1である。
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証明1
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/04 18:48 UTC 版)
「ボーア・モレルップの定理」の記事における「証明1」の解説
初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ワイエルシュトラスの乗積表示から Γ ( x ) = e − γ x x ∏ n = 1 ∞ n n + x e x / n log Γ ( x ) = − γ x − log x + ∑ n = 1 ∞ ( log n − log ( n + x ) + x n ) d d x log Γ ( x ) = − γ − 1 x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 n + x + 1 n ) d 2 d x 2 log Γ ( x ) = 1 x 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + x ) 2 > 0 ( x > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (x)={\frac {e^{-{\gamma }x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n+x}}e^{x/n}\\&\log \Gamma (x)=-{\gamma }x-\log {x}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log {n}-\log {(n+x)}+{\frac {x}{n}}\right)\\&{\frac {d}{dx}}\log \Gamma (x)=-{\gamma }-{\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{n+x}}+{\frac {1}{n}}\right)\\&{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (x)={\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}>0\qquad (x>0)\\\end{aligned}}} であり、対数の二階微分が正であるからガンマ関数は正の実軸上で対数凸である。また、 Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} と Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} もガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数 G ( x ) {\displaystyle G(x)} がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定して G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} であることを証明する。 f ( x ) = log Γ ( x ) − log G ( x ) {\displaystyle f(x)=\log {\Gamma (x)}-\log {G(x)}} と定義する。 G ( x + 1 ) = x G ( x ) {\displaystyle G(x+1)=xG(x)} であるから f ( x + 1 ) = log Γ ( x + 1 ) − log G ( x + 1 ) = log x + log Γ ( x ) − log x − log G ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+1)&=\log {\Gamma (x+1)}-\log {G(x+1)}\\&=\log {x}+\log {\Gamma (x)}-\log {x}-\log {G(x)}\\&=f(x)\\\end{aligned}}} であり、 n {\displaystyle n} を任意の自然数として f ( x + n ) = f ( x ) {\displaystyle f(x+n)=f(x)} である。また、 G ( 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle G(1)=\Gamma (1)=1} であるから f ( n ) = 0 {\displaystyle f(n)=0} である。背理法を用い、 f ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f(x_{0})\neq 0} となる点が実軸上に存在すると仮定する。しかし、 f ( ⌊ x 0 ⌋ ) = f ( ⌈ x 0 ⌉ ) = 0 {\displaystyle f(\lfloor {x_{0}}\rfloor )=f(\lceil {x_{0}}\rceil )=0} であるから、 f ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f(x_{0})\neq 0} が存在するためには f ′ ( x 1 ) > 0 , f ′ ( x 2 ) < 0 {\displaystyle f'(x_{1})>0,f'(x_{2})<0} が存在しなければならず、延いては f ″ ( x 3 ) = ϵ> 0 {\displaystyle f''(x_{3})=\epsilon >0} が存在しなければならない。これは f ″ ( x 3 ) = f ″ ( x 3 + n ) = d 2 d x 2 log Γ ( n + x 3 ) − d 2 d x 2 log G ( n + x 3 ) = ϵ {\displaystyle f''(x_{3})=f''(x_{3}+n)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {\Gamma (n+x_{3})}-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {G(n+x_{3})}=\epsilon } を意味する。しかし、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } とすると d 2 d x 2 log Γ ( n + x ) → 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (n+x)\to 0} であるから d 2 d x 2 log G ( n + x ) → − ϵ < 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {G(n+x)}\to -\epsilon <0} とならなければならず、 G ( x ) {\displaystyle G(x)} が対数凸であるという要求に反する。故に背理法の仮定は成立せず、常に f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} であり、 G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} である。以上により、 x> 0 {\displaystyle x>0} で G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} が示されたが、一致の定理により正則な定義域全体で G ( z ) = Γ ( z ) {\displaystyle G(z)=\Gamma (z)} となる。
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