ワイエルシュトラスの乗積表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 11:04 UTC 版)
「ガンマ関数」の記事における「ワイエルシュトラスの乗積表示」の解説
オイラーの乗積表示からオイラーの定数 γ = lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − log n ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)} を括り出すとワイエルシュトラスの乗積表示が得られる。ワイエルシュトラスはガンマ関数が負の整数に極を持つことを嫌って逆数を用いた[要出典]。ガンマ関数の逆数は複素平面全体で正則である。 1 Γ ( z ) = lim n → ∞ ∏ k = 0 n ( z + k ) n z n ! = lim n → ∞ z n − z ( ∏ k = 1 n e z / k ) ( ∏ m = 1 n z + m m e − z / m ) = z e γ z ∏ m = 1 ∞ ( 1 + z m ) e − z / m {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}{n^{z}n!}}=\lim _{n\to \infty }zn^{-z}\left(\prod _{k=1}^{n}{e^{z/k}}\right)\left(\prod _{m=1}^{n}{\frac {z+m}{m}}e^{-z/m}\right)=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m}}
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