ワイエルシュトラスの解析関数とは? わかりやすく解説

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ワイエルシュトラスの解析関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/14 09:22 UTC 版)

解析関数」の記事における「ワイエルシュトラスの解析関数」の解説

複素平面上のある領域定義され正則関数はその中の各点にそれを中心とする冪級数有する冪級数とその収束円との組をその点における関数要素と言う1点から出発して曲線に沿った解析接続関数要素次々接続していくことにより定義域拡張される。(詳細は項目「解析接続」を参照あらゆる曲線沿って出来るだけ解析接続行い定義域限度一杯まで拡張して得られる関数を(ワイエルシュトラスの)解析関数云う。ある点における関数の値は、その点を中心とする関数要素のとる値として得られる関数論はこの意味解析関数対象とする数学分野である。 こうして得られる解析関数には次のような特色がある。 解析関数その1つの関数要素与えれば、その定義域含めて完全に定まる。 従って複素平面上の小さな領域定義され正則関数からもその拡張である大域的な解析関数一意的に定まる複素平面上の1点 c での値はそれを中心とする関数要素により定まるが、その関数要素基準点からの解析接続経路より一般に異なる。従って c での関数の値一般に2つ以上定まり関数は多価になる。例え平方根を表す関数2価であり、対数関数は無限多価関数である。 多価解析関数は、複素平面変形して適当なリーマン面をつくると、その上で1価正則関数と見なせるようになるかくして通常の正則関数に関する多く成果例えコーシーの積分定理なども適切な扱いのもとでそのまま使えるうになる。 「形容詞解析’ (analytic) は、むしろ全局の意味において用いられる局所的に簡便に正則 (regular) という。フランス系では整型 (holomorphe) ともいう。」(高木貞治解析概論』p.202)

※この「ワイエルシュトラスの解析関数」の解説は、「解析関数」の解説の一部です。
「ワイエルシュトラスの解析関数」を含む「解析関数」の記事については、「解析関数」の概要を参照ください。

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