ワイエルシュトラス曲線との等価性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 09:53 UTC 版)
「Montgomery curve」の記事における「ワイエルシュトラス曲線との等価性」の解説
楕円曲線はワイエルシュトラス形式で記述できる。特に、モンゴメリ形式の楕円曲線 M A , B {\displaystyle M_{A,B}} ： B y 2 = x 3 + A x 2 + x {\displaystyle By^{2}=x^{3}+Ax^{2}+x} は、次の方法で変換できる； M A , B {\displaystyle M_{A,B}} の方程式の各項を B 3 {\displaystyle B^{3}} で除算し、変数xとyをそれぞれ u = x B {\displaystyle u={\frac {x}{B}}} と v = y B {\displaystyle v={\frac {y}{B}}} に置き換える。これにより、方程式 v 2 = u 3 + A B u 2 + 1 B 2 u {\displaystyle v^{2}=u^{3}+{\frac {A}{B}}u^{2}+{\frac {1}{B^{2}}}u} が得られる。ここから短いワイエルシュトラス形式を取得するには、uを変数 t − A 3 B {\displaystyle t-{\frac {A}{3B}}} に置き換えるだけで十分で、 v 2 = ( t − A 3 B ) 3 + A B ( t − A 3 B ) 2 + 1 B 2 ( t − A 3 B ) ; {\displaystyle v^{2}=\left(t-{\frac {A}{3B}}\right)^{3}+{\frac {A}{B}}\left(t-{\frac {A}{3B}}\right)^{2}+{\frac {1}{B^{2}}}\left(t-{\frac {A}{3B}}\right);} 最終的に、方程式 v 2 = t 3 + ( 3 − A 2 3 B 2 ) t + ( 2 A 3 − 9 A 27 B 3 ) . {\displaystyle v^{2}=t^{3}+\left({\frac {3-A^{2}}{3B^{2}}}\right)t+\left({\frac {2A^{3}-9A}{27B^{3}}}\right).} が得られる。 したがって写像 ψ {\displaystyle \psi } ： M A , B → E a , b {\displaystyle M_{A,B}\rightarrow E_{a,b}} は次で与えられる。 ( x , y ) ↦ ( t , v ) = ( x B + A 3 B , y B ) , a = 3 − A 2 3 B 2 , b = 2 A 3 − 9 A 27 B 3 {\displaystyle (x,y)\mapsto (t,v)=\left({\frac {x}{B}}+{\frac {A}{3B}},{\frac {y}{B}}\right),a={\frac {3-A^{2}}{3B^{2}}},b={\frac {2A^{3}-9A}{27B^{3}}}} 一方、体 F {\displaystyle \mathbb {F} } をベースとするワイエルシュトラス形式の楕円曲線 E a , b {\displaystyle E_{a,b}} ： v 2 = t 3 + a t + b {\displaystyle v^{2}=t^{3}+at+b} は、常にモンゴメリ形式に変換できるわけではない。 E a , b {\displaystyle E_{a,b}} の位数が4で割り切れ、次の条件を満たすときに、またその時に限り変換できる。 z 3 + a z + b = 0 {\displaystyle z^{3}+az+b=0} が少なくとも1つの根 α ∈ F {\displaystyle \alpha \in \mathbb {F} } を持ち、 3 α 2 + a {\displaystyle 3\alpha ^{2}+a} が F {\displaystyle \mathbb {F} } において平方剰余である。 これらの条件が満たされるとき、 s = ( 3 α 2 + a ) − 1 {\displaystyle s=({\sqrt {3\alpha ^{2}+a}})^{-1}} と置くと、写像 ψ − 1 {\displaystyle \psi ^{-1}} ： E a , b → M A , B {\displaystyle E_{a,b}\rightarrow M_{A,B}} は ( t , v ) ↦ ( x , y ) = ( s ( t − α ) , s v ) , A = 3 α s , B = s {\displaystyle (t,v)\mapsto (x,y)=\left(s(t-\alpha ),sv\right),A=3\alpha s,B=s} で表せる。
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