等方性物質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 01:52 UTC 版)
等方性物質はその性質が方向によって変化することの無い物質のことである。そのため等方性物質に関連する物理の方程式は、その系を表す座標系に拠ることは無い。ひずみテンソルは対称テンソルとなる。どのようなテンソルの跡も座標系に拠らないため、対称テンソルの最も完全な座標系非依存の分解の方法は、対称テンソルを定数テンソルと跡が0の (traceless) 対称テンソルの和として表現する方法である。 よって ε i j = ( 1 3 ε k k δ i j ) + ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)} ここで δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} はクロネッカーのデルタである。右辺の第一項が定数テンソルで、圧力として知られる。第二項が跡が0の対称テンソルで、せん断テンソルとして知られる。 フックの法則の等方性物質における最も一般的な形式は、これら2つのテンソルの線型結合として書き直すことができ、 σ i j = 3 K ( 1 3 ε k k δ i j ) + 2 G ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) {\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)} である。ここでKは体積弾性率であり、Gはせん断弾性率である。 弾性係数の間の関係を用いて、これらの等式は違った形で表現することができる。例えば、ひずみは応力テンソルを用いて ε 11 = 1 E ( σ 11 − ν ( σ 22 + σ 33 ) ) ε 22 = 1 E ( σ 22 − ν ( σ 11 + σ 33 ) ) ε 33 = 1 E ( σ 33 − ν ( σ 11 + σ 22 ) ) ε 12 = σ 12 G ε 13 = σ 13 G ε 23 = σ 23 G {\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{11}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right)\\&\varepsilon _{22}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right)\\&\varepsilon _{33}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right)\\&\varepsilon _{12}={\frac {\sigma _{12}}{G}}\\&\varepsilon _{13}={\frac {\sigma _{13}}{G}}\\&\varepsilon _{23}={\frac {\sigma _{23}}{G}}\end{aligned}}} と表すことができる。ここで E {\displaystyle E} はヤング率であり ν {\displaystyle \nu } はポアソン比である。 3Dにおけるフックの法則の導出3次元の形式のフックの法則はポアソン比と1次元のフックの法則を用いて以下のように導出することができる。ひずみと応力の関係を荷重の方向への伸び (1) （荷重によって引き起こされる）荷重方向に対して垂直方向への縮み (2, 3) という2つの効果の重ね合わせとして考える。 ε 1 ′ = 1 E σ 1 , ε 2 ′ = − ν ε 1 ′ , ε 3 ′ = − ν ε 1 ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'={\frac {1}{E}}\sigma _{1},\\\varepsilon _{2}'=-\nu \varepsilon _{1}',\\\varepsilon _{3}'=-\nu \varepsilon _{1}'.\end{aligned}}} ここで ν {\displaystyle \nu } はポアソン比であり E {\displaystyle E} はヤング率である。2, 3の方向についても荷重についての類似した等式、 ε 1 ″ = − ν ε 2 ″ , ε 2 ″ = 1 E σ 2 , ε 3 ″ = − ν ε 2 ″ {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}''=-\nu \varepsilon _{2}'',\\\varepsilon _{2}''={\frac {1}{E}}\sigma _{2},\\\varepsilon _{3}''=-\nu \varepsilon _{2}''\end{aligned}}} と ε 1 ‴ = − ν ε 3 ‴ , ε 2 ‴ = − ν ε 3 ‴ , ε 3 ‴ = 1 E σ 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''=-\nu \varepsilon _{3}''',\\\varepsilon _{2}'''=-\nu \varepsilon _{3}''',\\\varepsilon _{3}'''={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\end{aligned}}} とを得る。これら3つの場合を一緒に足し合わせて ( ε i = ε i ′ + ε i ″ + ε i ‴ {\displaystyle \varepsilon _{i}=\varepsilon _{i}'+\varepsilon _{i}''+\varepsilon _{i}'''} )、以下を得る。 ε 1 = 1 E ( σ 1 − ν ( σ 2 + σ 3 ) ) , ε 2 = 1 E ( σ 2 − ν ( σ 1 + σ 3 ) ) , ε 3 = 1 E ( σ 3 − ν ( σ 1 + σ 2 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}(\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3})),\\\varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}(\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3})),\\\varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}(\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}))\end{aligned}}} または以下のように整理できる。 ε 1 = 1 E ( ( 1 + ν ) σ 1 − ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) , ε 2 = 1 E ( ( 1 + ν ) σ 2 − ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) , ε 3 = 1 E ( ( 1 + ν ) σ 3 − ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})),\\\varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})),\\\varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}))\end{aligned}}} これを σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} について解くと、 σ 1 = E 1 + ν ε 1 + ν 1 + ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) {\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})} となる。総和を計算して ∑ i = 1 , 2 , 3 ε i = 1 E ( ( 1 + ν ) ∑ i = 1 , 2 , 3 σ i − 3 ν ( ∑ i = 1 , 2 , 3 σ i ) ) = 1 − 2 ν E ∑ i = 1 , 2 , 3 σ i {\displaystyle \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{i}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sum _{i=1,2,3}\sigma _{i}-3\nu (\sum _{i=1,2,3}\sigma _{i}))={\frac {1-2\nu }{E}}\sum _{i=1,2,3}\sigma _{i}} σ 1 + σ 2 + σ 3 = E 1 − 2 ν ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) {\displaystyle \sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})} そして σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} について解いた方程式に代入して σ 1 = E 1 + ν ε 1 + E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) {\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})} , σ 1 = 2 μ ε 1 + λ ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) {\displaystyle \sigma _{1}=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})} , ここで μ {\displaystyle \mu } と λ {\displaystyle \lambda } はラメ定数である。2と3の方向についても同様の取り扱いをすることで、3次元におけるフックの法則を求めることができる。
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