等方かつ線形な弾性体の運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 22:16 UTC 版)
「連続体力学」の記事における「等方かつ線形な弾性体の運動方程式」の解説
弾性体の場合、弾性体上の各点の運動速度vが小さい。従って連続体の運動方程式(C2) D v D t = K + 1 ρ div → σ {\displaystyle {\operatorname {D} \mathbf {v} \over \operatorname {D} t}=\mathbf {K} +{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma } の左辺は物質微分の定義(B1) より D v D t = ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v {\displaystyle {\operatorname {D} \mathbf {v} \over \operatorname {D} t}={\partial \mathbf {v} \over \partial t}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} } であるが、第二項はvに関する二次の微小量であるので無視できる。 さらにρの時間変化が無視できるほど小さいとすれば、 ∂ 2 v ∂ t 2 = ∂ K ∂ t + 1 ρ div → ∂ σ ∂ t {\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {v} \over \partial t^{2}}={\partial \mathbf {K} \over \partial t}+{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}{\partial \sigma \over \partial t}} 弾性体が等方かつ線形であれば(B3)、 (E3)より 各iに対し、 div ( ∂ t σ i j ) j = ∇ ⋅ ( λ ∑ k ∂ t E k k δ i j + 2 μ ∂ t E i j ) j {\displaystyle \operatorname {div} (\partial _{t}\sigma _{ij})_{j}=\nabla \cdot (\lambda \sum _{k}\partial _{t}E_{kk}\delta _{ij}+2\mu \partial _{t}E_{ij})_{j}} = ∇ ⋅ ( λ δ i j ∇ ⋅ v + μ ( ∂ i v j + ∂ j v i ) ) j {\displaystyle =\nabla \cdot (\lambda \delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mu (\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}))_{j}} = ( λ + μ ) ∂ i ∇ ⋅ v + μ Δ v j {\displaystyle =(\lambda +\mu )\partial _{i}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mu \Delta v_{j}} よって等方かつ線形な弾性体の運動方程式は以下のようになる ∂ 2 v ∂ t 2 = ∂ K ∂ t + 1 ρ ( ( λ + μ ) ∇ ( ∇ ⋅ v ) + μ Δ v ) {\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {v} \over \partial t^{2}}={\partial \mathbf {K} \over \partial t}+{1 \over \rho }((\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mu \Delta \mathbf {v} )}
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