相対論的な時空
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/05 14:25 UTC 版)
「ミンコフスキー空間」の記事における「相対論的な時空」の解説
物理学においては、内積の符号が (−, +, +, ..., +) もしくは (+, −, −, ..., −) であるようなミンコフスキー空間 Md,1 もしくは M1, d が、特殊相対性理論に基づく時空を表現する枠組みとして用いられる。d は空間の次元を表し、通常の3次元空間に時間を組み合わせた4次元時空では d = 3 である。Md,1 もしくは M1, d を Ed と E1 の直和に分解したとき、符号がどちらの場合でも Ed に対応する部分は空間成分と呼ばれ、E1 に対応する部分は時間成分と呼ばれる。標準基底は Ed に対応する単位ベクトルは 1, ..., d で番号付けされ、E1 に対応する単位ベクトルは 0 で番号付けされることが多い。また、この標準基底により数ベクトル空間と同一視したとき、その反変ベクトルとしての成分表示は V = (V0, V1, ..., Vd) と並べられることが多い。空間成分はベクトルをボールドで表す慣習によって V = (V0, V) で表されることもある。また、時間成分は対応する物理量の記号で表されることもある。 「4元ベクトル」も参照 符号が (−, +, +, ..., +) の場合には、2つのベクトル V, W のミンコフスキー内積は成分を用いて η(V, W) = −V0 W0 + V1 W1 + ... + Vd Wd = (V, W) − V0 W0 と書かれる。また、ノルムは V2 = η(V,V) = (V1)2 + ... + (Vd)2 −(V0)2 = V2 − (V0)2 と書かれる。η(V, W) = ημν Vμ Wν によりミンコフスキー内積 η を成分表示すれば、行列により η = ( − 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ) {\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&&0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}} となる。この行列式は det η = −1 となる。 符号が (+,−,−,...,−) の場合は η = ( 1 0 0 ⋯ 0 0 − 1 0 ⋯ 0 0 0 − 1 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ − 1 ) {\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&-1&0&\cdots &0\\0&0&-1&&0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &-1\end{pmatrix}}} det η = (−1)d となる。
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