相対論的な表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 06:53 UTC 版)
ローレンツ力を相対論的に記述すると p ˙ μ = q z ˙ ν F ν μ ( z ) {\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=q{\dot {z}}^{\nu }F_{\nu \mu }(z)} となる。ここで z=(ct,r) は粒子の相対論的な位置、p=(E/c,p) は粒子の相対論的な運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。F は電場と磁場を合わせた電磁テンソルで、具体的には ( F 01 , F 02 , F 03 ) = ( E 1 / c , E 2 / c , E 3 / c ) , ( F 32 , F 13 , F 21 ) = ( B 1 , B 2 , B 3 ) {\displaystyle (F_{01},F_{02},F_{03})=(E_{1}/c,E_{2}/c,E_{3}/c),~(F_{32},F_{13},F_{21})=(B_{1},B_{2},B_{3})} と表される。 位置の微分は非相対論的な速度 v によって z ˙ μ = ( c t ˙ , t ˙ v ) {\displaystyle {\dot {z}}^{\mu }=(c{\dot {t}},{\dot {t}}{\boldsymbol {v}})} と表される。従って、この式の空間成分は p ˙ = q t ˙ E ( t , r ) + q t ˙ v × B ( t , r ) {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {p}}}=q{\dot {t}}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\dot {t}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})} となる。非相対論的な力 f は f = d p d t = p ˙ t ˙ = q E ( t , r ) + q v × B ( t , r ) {\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\dot {\boldsymbol {p}}}{\dot {t}}}=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})} となる。
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