相対論的な表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 08:26 UTC 版)
この節ではアインシュタインの縮約記法を断りなく用いる。またミンコフスキー計量をdiag (−1, +1, +1, +1)としている。 まず粒子の運動と電磁場をローレンツ変換に対して不変なテンソルで次のように表す。 4元速度（英語版） ( v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) = ( − c 1 − v 2 / c 2 , v x 1 − v 2 / c 2 , v y 1 − v 2 / c 2 , v z 1 − v 2 / c 2 ) {\displaystyle (v_{0},v_{1},v_{2},v_{3})=(-{\frac {c}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}})} 4元力（英語版） ( f 0 , f 1 , f 2 , f 3 ) = ( f ⋅ v 1 − v 2 / c 2 , f x 1 − v 2 / c 2 , f y 1 − v 2 / c 2 , f z 1 − v 2 / c 2 ) {\displaystyle (f^{0},f^{1},f^{2},f^{3})=({\frac {{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},{\frac {f_{x}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},{\frac {f_{y}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},{\frac {f_{z}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}})} 4元電流密度 ( J e 0 , J e 1 , J e 2 , J e 3 ) = ( c ρ e , J e x , J e y , J e z ) {\displaystyle (J_{\mathrm {e} }^{0},J_{\mathrm {e} }^{1},J_{\mathrm {e} }^{2},J_{\mathrm {e} }^{3})=(c\rho _{\mathrm {e} },J_{\mathrm {e} x},J_{\mathrm {e} y},J_{\mathrm {e} z})} 4元磁流密度 ( J m 0 , J m 1 , J m 2 , J m 3 ) = ( c ρ m , J m x , J m y , J m z ) {\displaystyle (J_{\mathrm {m} }^{0},J_{\mathrm {m} }^{1},J_{\mathrm {m} }^{2},J_{\mathrm {m} }^{3})=(c\rho _{\mathrm {m} },J_{\mathrm {m} x},J_{\mathrm {m} y},J_{\mathrm {m} z})} 4元電磁ポテンシャル ( A e 0 , A e 1 , A e 2 , A e 3 ) = ( ϕ e / c , A e x , A e y , A e z ) {\displaystyle (A_{\mathrm {e} }^{0},A_{\mathrm {e} }^{1},A_{\mathrm {e} }^{2},A_{\mathrm {e} }^{3})=(\phi _{\mathrm {e} }/c,A_{\mathrm {e} x},A_{\mathrm {e} y},A_{\mathrm {e} z})} - ( A m 0 , A m 1 , A m 2 , A m 3 ) = ( ϕ m / c , A m x , A m y , A m z ) {\displaystyle (A_{\mathrm {m} }^{0},A_{\mathrm {m} }^{1},A_{\mathrm {m} }^{2},A_{\mathrm {m} }^{3})=(\phi _{\mathrm {m} }/c,A_{\mathrm {m} x},A_{\mathrm {m} y},A_{\mathrm {m} z})} 電磁場テンソル ( F 01 , F 02 , F 03 , F 23 , F 31 , F 12 ) = ( E x / c , E y / c , E z / c , B x , B y , B z ) {\displaystyle (F^{01},F^{02},F^{03},F^{23},F^{31},F^{12})=(E_{x}/c,E_{y}/c,E_{z}/c,B_{x},B_{y},B_{z})} 電磁場テンソルのホッジ双対 ( F ~ 01 , F ~ 02 , F ~ 03 , F ~ 23 , F ~ 31 , F ~ 12 ) = ( B x , B y , B z , − E x / c , − E y / c , − E z / c ) {\displaystyle ({\tilde {F}}^{01},{\tilde {F}}^{02},{\tilde {F}}^{03},{\tilde {F}}^{23},{\tilde {F}}^{31},{\tilde {F}}^{12})=(B_{x},B_{y},B_{z},-E_{x}/c,-E_{y}/c,-E_{z}/c)} 電磁場テンソルとそのホッジ双対は交代記号 ε (エディントンのイプシロン) を用いて次のように結ばれる。 F ~ α β = 1 2 ε α β μ ν F μ ν , F ~ α β = − 1 2 ε α β μ ν F μ ν {\displaystyle {\tilde {F}}^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }F_{\mu \nu },\;{\tilde {F}}_{\alpha \beta }=-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \mu \nu }F^{\mu \nu }} すると電磁場の方程式は次のように表される。 アンペール・ガウスの法則 ∂ α F α β = − μ 0 J e β {\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=-\mu _{0}J_{\mathrm {e} }^{\beta }} ファラデー・ガウスの法則 ∂ α F ~ α β = − 1 c J m β {\displaystyle \partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=-{\frac {1}{c}}J_{\mathrm {m} }^{\beta }} ローレンツ力 f α = ( q e F α β + q m μ 0 c F ~ α β ) v β {\displaystyle f^{\alpha }=\left(q_{\mathrm {e} }F^{\alpha \beta }+{\frac {q_{\mathrm {m} }}{\mu _{0}c}}{{\tilde {F}}^{\alpha \beta }}\right)v_{\beta }} 電磁ポテンシャルを用いた表現では次のようになる。 マクスウェル方程式 ∂ α ∂ α A e β − ∂ β ∂ α A e α = − μ 0 J e β {\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }A_{\mathrm {e} }^{\beta }-\partial ^{\beta }\partial _{\alpha }A_{\mathrm {e} }^{\alpha }=-\mu _{0}J_{\mathrm {e} }^{\beta }} ∂ α ∂ α A m β − ∂ β ∂ α A m α = − ε 0 J m β {\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }A_{\mathrm {m} }^{\beta }-\partial ^{\beta }\partial _{\alpha }A_{\mathrm {m} }^{\alpha }=-\varepsilon _{0}J_{\mathrm {m} }^{\beta }} ゲージ条件 (ローレンツゲージの場合) ∂ α A e α = 0 {\displaystyle \partial _{\alpha }A_{\mathrm {e} }^{\alpha }=0} ∂ α A m α = 0 {\displaystyle \partial _{\alpha }A_{\mathrm {m} }^{\alpha }=0} 電磁場テンソルとの関係 F α β = ∂ α A e β − ∂ β A e β − μ 0 c ε α β μ ν ∂ μ A m ν {\displaystyle F^{\alpha \beta }=\partial ^{\alpha }A_{\mathrm {e} }^{\beta }-\partial ^{\beta }A_{\mathrm {e} }^{\beta }-\mu _{0}c\varepsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\partial _{\mu }A_{\mathrm {m} \nu }} F ~ α β = ε α β μ ν ∂ μ A e ν + μ 0 c ( ∂ α A m β − ∂ β A m α ) {\displaystyle {\tilde {F}}^{\alpha \beta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\partial _{\mu }A_{\mathrm {e} \nu }+\mu _{0}c(\partial ^{\alpha }A_{\mathrm {m} }^{\beta }-\partial ^{\beta }A_{\mathrm {m} }^{\alpha })} 「古典電磁気学の共変定式」も参照
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