相対論的な粒子系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 08:32 UTC 版)
「ラグランジュ力学」の記事における「相対論的な粒子系」の解説
相対論的な系では、時間は位置と共に4元ベクトルとなるので、時間は力学変数となり、運動のパラメータではなくなる。パラメータを λ として、力学変数を X = ( X i μ ( λ ) ) = ( c t i ( λ ) , x i ( λ ) ) {\displaystyle X=(X_{i}^{\mu }(\lambda ))=(ct_{i}(\lambda ),{\boldsymbol {x}}_{i}(\lambda ))} とする。ここで μ は時空の添え字で、i は粒子を区別する添え字である。自由粒子系を考えると、作用積分は S [ X ] = ∫ L ( X , X ˙ , λ ) d λ = − ∫ ∑ i ( m i c − η μ ν X ˙ i μ X ˙ i ν ) d λ {\displaystyle S[X]=\int L(X,{\dot {X}},\lambda )\,d\lambda =-\int \sum _{i}\left(m_{i}c{\sqrt {-\eta _{\mu \nu }\,{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }}}\right)\,d\lambda } である。ここで η は平坦な時空の計量で η = d i a g ( − 1 , 1 , … , 1 ) {\displaystyle \eta =\mathrm {diag} (-1,1,\ldots ,1)} である。平方根の中が正である為に、作用積分の段階で運動は時間的なものに限定されている。 ラグランジュの運動方程式は δ S [ X ] δ X i μ ( λ ) = − p ˙ i μ ( λ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[X]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )=0} となる。ここで、一般化運動量は p i μ ( λ ) = ∂ L ∂ X ˙ i μ = m i c η μ ν X ˙ i ν ( λ ) − ( X ˙ i ) 2 {\displaystyle p_{i\mu }(\lambda )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {X}}_{i}^{\mu }}}=m_{i}c{\frac {\eta _{\mu \nu }\,{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )}{\sqrt {-({\dot {X}}_{i})^{2}}}}} p i μ ( λ ) = η μ ν p i ν ( λ ) = m i c X ˙ i μ ( λ ) − ( X ˙ i ) 2 {\displaystyle p_{i}^{\mu }(\lambda )=\eta ^{\mu \nu }\,p_{i\nu }(\lambda )={\frac {m_{i}c{\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )}{\sqrt {-({\dot {X}}_{i})^{2}}}}} である。固有時間 c 2 d τ i 2 = η ρ σ d X i ρ d X i σ {\displaystyle c^{2}d\tau _{i}^{2}=\eta _{\rho \sigma }dX_{i}^{\rho }dX_{i}^{\sigma }} を使うと p i μ ( τ i ) = m i d X i ν d τ i = ( m i c d t i d τ i , m i d x i d τ i ) = ( E i / c , p i ) {\displaystyle p_{i}^{\mu }(\tau _{i})=m_{i}{\frac {dX_{i}^{\nu }}{d\tau _{i}}}=\left(m_{i}c{\frac {dt_{i}}{d\tau _{i}}},m_{i}{\frac {d{\boldsymbol {x}}_{i}}{d\tau _{i}}}\right)=(E_{i}/c,{\boldsymbol {p}}_{i})} となる。
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