電磁場中の粒子系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 08:32 UTC 版)
「ラグランジュ力学」の記事における「電磁場中の粒子系」の解説
物質場として相対論的な粒子系を考え、相互作用項として S int [ X , A ] = ∑ i q i ∫ X ˙ i μ ( λ ) A μ ( X i ) d λ = ∫ ∑ i q i ( ∫ X ˙ i μ ( λ ) δ 4 ( X i ( λ ) − x ) d λ ) A μ ( x ) d 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{int}}[X,A]&=\sum _{i}q_{i}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,A_{\mu }(X_{i})\,d\lambda \\&=\int \sum _{i}q_{i}\left(\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda \right)A_{\mu }(x)\,d^{4}x\\\end{aligned}}} を考える。 このとき、物質 X に関する運動方程式は δ S X [ X ] δ X i μ ( λ ) + δ S int [ X , A ] δ X i μ ( λ ) = − p ˙ i μ ( λ ) + q i X ˙ i ν ( λ ) F ν μ ( X i ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S_{X}[X]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}+{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )+q_{i}{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )\,F_{\nu \mu }(X_{i})=0} となり、ローレンツ力を再現する。 また、4元電流密度は j μ ( x ) = c − g δ S int [ X , A ] δ A μ ( x ) = ∑ i q i c − g ∫ X ˙ i μ ( λ ) δ 4 ( X i ( λ ) − x ) d λ {\displaystyle j^{\mu }(x)={\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}=\sum _{i}{\frac {q_{i}c}{\sqrt {-g}}}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda } となる。
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