曲面の面積要素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 00:26 UTC 版)
n-次元ユークリッド空間に埋め込まれた二次元曲面を考えることで、体積要素の単純な例を考察することができる。この場合、体積要素は面積要素と呼ばれることもある。部分集合 U ⊂ R2 と写像 φ : U → R n {\displaystyle \varphi :U\to \mathbf {R} ^{n}} を考えることにより、Rn に埋め込まれた曲面を定義する。二次元では体積は面積であり、体積要素は曲面の任意の部分の面積を決定する方法を与える。したがって、体積要素は次の形式をとる。 f ( u 1 , u 2 ) d u 1 d u 2 {\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}} これにより曲面上の集合 B の面積を積分を用いて以下のように計算できる。 Area ( B ) = ∫ B f ( u 1 , u 2 ) d u 1 d u 2 {\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}} ここで、通常の意味での面積を与えるような体積要素を決定したい。写像のヤコブ行列は以下のように書ける。 λ i j = ∂ φ i ∂ u j {\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}} ここで添字 i は 1 から n を、j は 1 から 2 を走る。n-次元空間のユークリッド計量から、集合 U 上の計量 g = λTλ を計算でき、その行列要素は以下のように与えられる。 g i j = ∑ k = 1 n λ k i λ k j = ∑ k = 1 n ∂ φ k ∂ u i ∂ φ k ∂ u j {\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}} この計量の行列式は次のようになる。 det g = | ∂ φ ∂ u 1 ∧ ∂ φ ∂ u 2 | 2 = det ( λ T λ ) {\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{\mathrm {T} }\lambda )} 正則曲面においては、この行列式はいたるところ非零、すなわちヤコブ行列のランクはいたるところで 2 である。 ここで、U 上の座標を微分同相写像 により変換し、座標 (u1, u2) が (v1, v2) に移るものとする。すなわち、 (u1, u2) = f(v1, v2) となる。この変換のヤコブ行列は次のように与えられる。 F i j = ∂ f i ∂ v j {\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}} この新しい座標では、 ∂ φ i ∂ v j = ∑ k = 1 2 ∂ φ i ∂ u k ∂ f k ∂ v j {\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}} となり、計量は以下のように変換される。 g ~ = F T g F {\displaystyle {\tilde {g}}=F^{\mathrm {T} }gF} ここで、 ~g は v 座標系に引き戻した計量である。この行列式は次のようになる。 det g ~ = det g ( det F ) 2 {\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g(\det F)^{2}} 以上から、体積要素が向きを保存する座標変換の下に不変であることがわかる。 二次元においては、体積は面積である。部分集合 B ⊂ U の面積は次のように積分で得られる。 Area ( B ) = ∬ B det g d u 1 d u 2 = ∬ B det g | det F | d v 1 d v 2 = ∬ B det g ~ d v 1 d v 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;|\det F|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\end{aligned}}} したがって、どちらの座標系においても体積要素は同一の形式を持ち、すなわち座標変換で不変に保たれる。 以上の議論に二次元特有のものは一切ないので、任意の次元について成り立つ。
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