数学的対象

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数学的対象

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/24 15:50 UTC 版)

「哲学上の未解決問題」の記事における「数学的対象」の解説

詳細は「数学的対象」を参照 数、集合、群、点などといったものは何なのか。それらは実在するものなのか、それとも単純に、あらゆる構造に存在する関係性なのか。数学的対象とは何であるかについて多くの異なる見解が存在するが、議論は2つの対立する学派に大別されるように思われる。数学的対象が実在であると主張するプラトニズムと、数学的対象は単なる形式的構造であると主張する形式主義である。この論争は、「連続体仮説」のような具体例を考えるときよりよく理解されるかもしれない。連続体仮説は、集合論のZF公理とは無関係に証明されているので、その系内では、この命題は証明も反証もできない。したがって、形式主義者は、あなたが質問の文脈をさらに洗練しない限り、連続体仮説は真でも偽でもないと言うだろう。しかし、プラトン主義者は、連続体より小さいが、任意の可算集合よりも大きい基数を持つ超限集合が存在するか存在しないかのいずれかだと主張するだろう。それゆえ、それが証明不可能であると証明されたかどうかによらず、プラトン主義者は答えがそれでもなお存在すると主張するだろう。