座標変換とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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座標変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:31 UTC 版)

「共形変換」の記事における「座標変換」の解説

ミンコフスキー時空上の座標xμに対する並進、ローレンツ変換、スケール変換、特殊共形変換は以下のようになる。時空の並進 x μ → x ′ μ = x μ + a μ {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+a^{\mu }} ローレンツ変換（時空の回転変換） x μ → x ′ μ = Λ ν μ x ν {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=\Lambda _{\ \nu }^{\mu }x^{\nu }} スケール変換（ディラテーション） x μ → x ′ μ = λ x μ {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=\lambda x^{\mu }} 特殊共形変換 x μ → x ′ μ = x μ − b μ x 2 1 − 2 b ⋅ x + b 2 x 2 {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\prime \mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}} ここで、aμ、 Λ ν μ {\displaystyle \Lambda _{\ \nu }^{\mu }} 、λ、bμは変換による任意のパラメータである。特殊共形変換は、以下のように書き直すことができる。 x ′ μ x ′ 2 = x μ x 2 − b μ {\displaystyle {\frac {x^{\prime \mu }}{x^{\prime 2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }} この形式から、特殊共形変換は x μ → x μ / x 2 {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu }/x^{2}} と座標変換し、パラメータbμだけ並進させる変換を意味していることが分かる。

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座標変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/20 05:17 UTC 版)

「ポアンカレ群」の記事における「座標変換」の解説

ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。並進 x μ → x ′ μ = x μ + a μ {\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }} ローレンツ変換 x μ → x ′ μ = Λ μ ν x ν {\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }} ここで、a, Λ は変換のパラメータである。

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「座標変換」を含む「ポアンカレ群」の記事については、「ポアンカレ群」の概要を参照ください。

座標変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 08:32 UTC 版)

「ラグランジュ力学」の記事における「座標変換」の解説

座標変換 q ↦ Q {\displaystyle q\mapsto Q} が q i = g i ( Q , t ) {\displaystyle q_{i}=g_{i}(Q,t)} で表されるとき、新たな座標の下でのラグランジアンは L ~ ( Q , Q ˙ , t ) = L ( g ( Q , t ) , g ˙ ( Q , t ) , t ) {\displaystyle {\tilde {L}}(Q,{\dot {Q}},t)=L(g(Q,t),{\dot {g}}(Q,t),t)} で与えられ、新たなラグランジアンから導かれる運動方程式は δ S ~ [ Q ] δ Q I ( t ) = ∂ L ~ ∂ Q I − d d t ∂ L ~ ∂ Q ˙ I = 0 {\displaystyle {\frac {\delta {\tilde {S}}[Q]}{\delta Q_{I}(t)}}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial Q_{I}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q}}_{I}}}=0} である。このように写像の合成で座標変換を容易に行えることが一般化座標で表されるラグランジュ形式の利点の一つである。座標変換の時間微分は連鎖律により g ˙ i ( Q , t ) = d g i d t ( Q , t ) = Q ˙ I ⋅ ∂ g i ∂ Q I ( Q , t ) + ∂ g i ∂ t ( Q , t ) {\displaystyle {\dot {g}}_{i}(Q,t)={\frac {dg_{i}}{dt}}(Q,t)={\dot {Q}}_{I}\cdot {\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}(Q,t)+{\frac {\partial g_{i}}{\partial t}}(Q,t)} であるため、新たな座標に共役な運動量は P I ( t ) = ∂ L ~ ∂ Q ˙ I = ∂ L ∂ q ˙ i ∂ g i ∂ Q I = p i ⋅ ∂ g i ∂ Q I {\displaystyle P_{I}(t)={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q}}_{I}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}=p_{i}\cdot {\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}} となる。